Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante 20^{\circ} \mathrm{C}. No instante da descoberta, a temperatura do núcleo do corpo era de 30^{\circ} C. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era de 25^{\circ} C. Suponha que o momento da morte corresponda a t=0 e que a temperatura do corpo naquele momento era 37^{\circ} C. Determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Temperatura ambiente: \,20^\circ\mathrm{C}\,.
No instante da descoberta (tempo desconhecido que chamaremos de t em horas), a temperatura do núcleo do corpo era \,30^\circ\mathrm{C}\,.
Uma hora depois da descoberta (ou seja, no instante t+1), a temperatura do núcleo era \,25^\circ\mathrm{C}\,.
Momento da morte corresponde a t=0 e a temperatura do corpo nesse instante era \,37^\circ\mathrm{C}\,.
O enunciado pede: determinar quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo (ou seja, encontrar o valor de t em horas).
Passo 2
Agora vamos modelar a variação da temperatura do corpo com uma equação. A ideia física que usaremos é que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em linguagem matemática isso se escreve como uma equação diferencial simples:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
T(t) é a temperatura do corpo no instante t (em horas),
T_a é a temperatura ambiente (uma constante),
k>0 é uma constante positiva que mede a rapidez do resfriamento,
o sinal negativo indica que, quando T(t)>T_a, a temperatura do corpo diminui.
Vou resolver essa equação diferencial passo a passo (é curto e útil para entender a fórmula que vamos usar).
Separe as variáveis:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Integre os dois lados. A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a| e a do lado direito é -kt mais uma constante de integração C:
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr| = -kt + C.
Exponenciando, obtemos
T(t)-T_a = C' e^{-kt},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva ou negativa conforme as condições iniciais. Com a condição inicial T(0)=T_0 (temperatura no instante da morte), temos
C' = T_0 - T_a.
Portanto a solução geral que usaremos é a forma exponencial simples e prática:
T(t) = T_a + \bigl(T_0 - T_a\bigr) e^{-kt}.
Aqui:
T_a é a temperatura ambiente,
T_0 é a temperatura do corpo em t=0,
k é a constante de resfriamento,
t é o tempo transcorrido desde a morte.
Passo 3
Agora substituo os dados do problema na fórmula \,T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}\,.
Temperatura ambiente: T_a=20^\circ\mathrm{C}.
Temperatura inicial (momento da morte): T_0=37^\circ\mathrm{C}.
Logo a expressão para T(t) fica
T(t)=20 + 17\,e^{-kt},
pois T_0-T_a = 37-20 = 17.
As duas medições fornecidas se traduzem em duas equações:
No instante da descoberta, que é t horas após a morte, T(t)=30^\circ\mathrm{C}. Assim
30 = 20 + 17\,e^{-k t}.
Uma hora depois da descoberta, isto é em t+1, T(t+1)=25^\circ\mathrm{C}. Assim
25 = 20 + 17\,e^{-k(t+1)}.
Passo 4
Vamos trabalhar essas duas equações para eliminar incógnitas e achar k e depois t.
Interpretação e verificações rápidas (coisa de amigo para dar confiança): com t\approx0,7655\\ \text{h} a temperatura prevista na descoberta é 20+17e^{-(\ln 2)\cdot0,7655}\approx30^\circ\mathrm{C} e uma hora depois cai para 25^\circ\mathrm{C}, então os cálculos estão consistentes. Força aí nos estudos — essa é uma aplicação direta e elegante de exponenciais e logaritmos, e o truque de dividir as equações para eliminar incógnitas é muito útil em provas.