Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante 20^{\circ} \mathrm{C}. No instante da descoberta, a temperatura do núcleo do corpo era de 30^{\circ} C. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era de 25^{\circ} C. Suponha que o momento da morte corresponda a t=0 e que a temperatura do corpo naquele momento era 37^{\circ} C. Determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Temperatura ambiente: \,20^\circ\mathrm{C}\,.
  • No instante da descoberta (tempo desconhecido que chamaremos de t em horas), a temperatura do núcleo do corpo era \,30^\circ\mathrm{C}\,.
  • Uma hora depois da descoberta (ou seja, no instante t+1), a temperatura do núcleo era \,25^\circ\mathrm{C}\,.
  • Momento da morte corresponde a t=0 e a temperatura do corpo nesse instante era \,37^\circ\mathrm{C}\,.
  • O enunciado pede: determinar quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo (ou seja, encontrar o valor de t em horas).

Passo 2

Agora vamos modelar a variação da temperatura do corpo com uma equação. A ideia física que usaremos é que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em linguagem matemática isso se escreve como uma equação diferencial simples:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no instante t (em horas),
  • T_a é a temperatura ambiente (uma constante),
  • k>0 é uma constante positiva que mede a rapidez do resfriamento,
  • o sinal negativo indica que, quando T(t)>T_a, a temperatura do corpo diminui.
Vou resolver essa equação diferencial passo a passo (é curto e útil para entender a fórmula que vamos usar).
  1. Separe as variáveis:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
  1. Integre os dois lados. A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a| e a do lado direito é -kt mais uma constante de integração C:
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr| = -kt + C.
  1. Exponenciando, obtemos
T(t)-T_a = C' e^{-kt},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva ou negativa conforme as condições iniciais. Com a condição inicial T(0)=T_0 (temperatura no instante da morte), temos
C' = T_0 - T_a.
Portanto a solução geral que usaremos é a forma exponencial simples e prática:
T(t) = T_a + \bigl(T_0 - T_a\bigr) e^{-kt}.
Aqui:
  • T_a é a temperatura ambiente,
  • T_0 é a temperatura do corpo em t=0,
  • k é a constante de resfriamento,
  • t é o tempo transcorrido desde a morte.

Passo 3

Agora substituo os dados do problema na fórmula \,T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}\,.
  • Temperatura ambiente: T_a=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial (momento da morte): T_0=37^\circ\mathrm{C}.
Logo a expressão para T(t) fica
T(t)=20 + 17\,e^{-kt},
pois T_0-T_a = 37-20 = 17.
As duas medições fornecidas se traduzem em duas equações:
  1. No instante da descoberta, que é t horas após a morte, T(t)=30^\circ\mathrm{C}. Assim
30 = 20 + 17\,e^{-k t}.
  1. Uma hora depois da descoberta, isto é em t+1, T(t+1)=25^\circ\mathrm{C}. Assim
25 = 20 + 17\,e^{-k(t+1)}.

Passo 4

Vamos trabalhar essas duas equações para eliminar incógnitas e achar k e depois t.
Da primeira equação:
30 = 20 + 17\,e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad e^{-k t} = \frac{30-20}{17} = \frac{10}{17}.
Da segunda equação:
25 = 20 + 17\,e^{-k(t+1)}\quad\Rightarrow\quad e^{-k(t+1)} = \frac{25-20}{17} = \frac{5}{17}.
Dividindo a segunda igualdade pela primeira (isso elimina e^{-k t} e 17):
\frac{e^{-k(t+1)}}{e^{-k t}} = \frac{5/17}{10/17} \quad\Rightarrow\quad e^{-k} = \frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-k = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \quad\Rightarrow\quad k = \ln 2.
Portanto a constante de resfriamento é k=\ln 2 (em unidades de hora^{-1}).

Passo 5

Com k=\ln 2 podemos voltar à expressão para e^{-k t} obtida antes e achar t:
e^{-k t} = \frac{10}{17}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
-k t = \ln\!\left(\frac{10}{17}\right).
Substituindo k=\ln 2:
-(\ln 2)\,t = \ln\!\left(\frac{10}{17}\right).
Isolando t:
t = -\frac{\ln\!\left(\dfrac{10}{17}\right)}{\ln 2} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{17}{10}\right)}{\ln 2}.
Agora calculo numericamente. Primeiro calcule o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{17}{10}\right)=\ln(1,7)\approx 0,530628.
E
\ln 2 \approx 0,693147.
Portanto
t \approx \frac{0,530628}{0,693147}\approx 0,7655\\ \text{horas}.
Converter para minutos e segundos para ficar mais intuitivo:
0,7655\\ \text{h}\times 60 \approx 45,931\\ \text{min}.
Isto é 45 minutos e
0,931\\ \text{min}\times 60 \approx 55,9\\ \text{segundos},
ou seja aproximadamente 45 minutos e 56 segundos.

Passo 6

Interpretação e verificações rápidas (coisa de amigo para dar confiança): com t\approx0,7655\\ \text{h} a temperatura prevista na descoberta é 20+17e^{-(\ln 2)\cdot0,7655}\approx30^\circ\mathrm{C} e uma hora depois cai para 25^\circ\mathrm{C}, então os cálculos estão consistentes. Força aí nos estudos — essa é uma aplicação direta e elegante de exponenciais e logaritmos, e o truque de dividir as equações para eliminar incógnitas é muito útil em provas.

Resposta

\;t\approx0,7655\\ \text{h}\approx0\\ \text{h }45\\ \text{min }56\\ \text{s}

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