Questão 2. Determine os limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x\to 0 da expressão
\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é e^{\operatorname{sen} x}-1.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • Quer-se o valor do limite, se existir.

Passo 2

Estratégia básica que vou usar (apenas listando, sem desenvolver aqui): vou transformar a expressão em um produto de fatores cujos limites conhecidos eu saiba, e aplicar a regra do produto de limites. Para isso preciso recordar dois limites fundamentais que vou usar a seguir.

Passo 3

Primeiro limite fundamental (vou explicar por que vale):
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Justificativa curta e intuitiva: a função exponencial tem a série de Taylor centrada em 0
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por u obtém-se
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2!}+\frac{u^{2}}{3!}+\cdots,
e quando u\to 0 todos os termos além de 1 tendem a 0, portanto o limite é 1. Em palavras: para pequenos u, e^{u}-1 comporta-se como u.

Passo 4

Segundo limite fundamental (explicação com o teorema do aperto/squeeze):
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Justificativa esquemática: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \cos x<\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}<1. Como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo teorema do aperto segue \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Em palavras: para pequenos x, \operatorname{sen} x é muito bem aproximado por x.

Passo 5

Agora manipulo a expressão do limite usando uma substituição/algebra simples. Para x\neq 0 pode-se escrever
\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x} = \frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Isso é só multiplicar e dividir por \operatorname{sen} x. Quando x\to 0 tem-se \operatorname{sen} x\to 0, então posso aplicar os limites conhecidos aos dois fatores.

Passo 6

Calculo o limite de cada fator e uso a regra do produto de limites:
  • Pelo Passo 3, com u=\operatorname{sen} x e u\to 0 quando x\to 0,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}=1.
  • Pelo Passo 4,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque ambos existem e são finitos),
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x}=1\cdot 1=1.

Passo 7

Observação alternativa (útil para prova rápida na prova): considere f(x)=e^{\operatorname{sen} x}. Então f(0)=1 e, pela definição de derivada,
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x}.
Calculando f'(x)=e^{\operatorname{sen} x}\cdot\cos x e avaliando em 0 f'(0)=e^{0}\cdot\cos 0=1. Logo o limite vale 1. Isso é a mesma resposta obtida antes, por outra via.

Resposta

1

Exercícios relacionados