Questão 2. Determine os limites, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da expressão
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O ponto de interesse é
. - Quer-se o valor do limite, se existir.
Passo 2
Estratégia básica que vou usar (apenas listando, sem desenvolver aqui): vou transformar a expressão em um produto de fatores cujos limites conhecidos eu saiba, e aplicar a regra do produto de limites. Para isso preciso recordar dois limites fundamentais que vou usar a seguir.
Passo 3
Primeiro limite fundamental (vou explicar por que vale):
Justificativa curta e intuitiva: a função exponencial tem a série de Taylor centrada em
Subtraindo
e dividindo por
obtém-se
e quando
todos os termos além de
tendem a
, portanto o limite é
. Em palavras: para pequenos
,
comporta-se como
.
Passo 4
Segundo limite fundamental (explicação com o teorema do aperto/squeeze):
Justificativa esquemática: para
vale a desigualdade
. Como
, pelo teorema do aperto segue
. Em palavras: para pequenos
,
é muito bem aproximado por
.
Passo 5
Agora manipulo a expressão do limite usando uma substituição/algebra simples. Para
pode-se escrever
Isso é só multiplicar e dividir por
. Quando
tem-se
, então posso aplicar os limites conhecidos aos dois fatores.
Passo 6
Calculo o limite de cada fator e uso a regra do produto de limites:
- Pelo Passo 3, com
e quando ,
- Pelo Passo 4,
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque ambos existem e são finitos),
Passo 7
Observação alternativa (útil para prova rápida na prova): considere
. Então
e, pela definição de derivada,
Calculando
e avaliando em
dá
. Logo o limite vale
. Isso é a mesma resposta obtida antes, por outra via.
Resposta
1