Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a soma de três parcelas:
, e . - A variável independente é
. - É esperado que se encontre
, a derivada de em relação a .
Observação importante (não resolver ainda): cada parcela tem uma regra de diferenciação diferente (produto, cadeia, exponencial). A derivada final será a soma das derivadas das parcelas, onde cada parcela só pode ser derivada onde está definida (por exemplo,
exige
e
exige
, sendo a derivada clássica válida quando
).
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas de derivação que vamos usar e explicar cada uma de forma intuitiva.
- Regra da soma:
Significado: derivar uma soma é derivar parcela a parcela.
- Regra do produto:
Significado: para o produto, deriva-se um fator mantendo o outro e soma-se o termo simétrico.
- Regra da cadeia:
Significado: derivar uma composição exige multiplicar a derivada da função externa (avaliada na interna) pela derivada da função interna.
- Derivadas elementares úteis:
-
=\dfrac{1}{x}) para . -
para constante . -
. -
para (aqui é a variável da função externa).
Vou aplicar essas regras parcela a parcela.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
. Identificar fatores para a regra do produto:
Calcular as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando
, obtemos
Passo 4
Derivada da segunda parcela
. Aqui é uma composição: primeira a função externa
e a função interna
.
Derivada da externa:
Derivada da externa:
Derivada da interna:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
válido quando
(para
a raiz está no limite e a derivada clássica tende a infinito).
Passo 5
Derivada da terceira parcela
. É uma exponencial com argumento linear
. Usando a regra para exponenciais compostas (cadeia simples):
Explicação rápida: a derivada da exponencial é ela mesma, e multiplica-se pela derivada do expoente
, que é
.
Passo 6
Agora juntamos as derivadas das três parcelas usando a linearidade da derivada (regra da soma). Assim
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
Passo 7
Fazer uma pequena limpeza estética (já está praticamente simplificado). A derivada final é
Lembrando domínio de validade: para que
e
estejam definidos nas formas escritas, exige-se
(para
) e
(para
e sua derivada). Onde
a derivada da raiz clássica não é finita.