Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} \cdot \boldsymbol{\operatorname { l n }} \boldsymbol{x}+\sqrt{ }(\boldsymbol{\operatorname { s e n }} \boldsymbol{x})+\boldsymbol{e}^{\mathbf{5 x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{2}\cdot \ln x + \sqrt{\sin x} + e^{5x}.
Informações dadas:
  • A função é a soma de três parcelas: x^{2}\ln x, \sqrt{\sin x} e e^{5x}.
  • A variável independente é x.
  • É esperado que se encontre f'(x), a derivada de f em relação a x.
Observação importante (não resolver ainda): cada parcela tem uma regra de diferenciação diferente (produto, cadeia, exponencial). A derivada final será a soma das derivadas das parcelas, onde cada parcela só pode ser derivada onde está definida (por exemplo, \ln x exige x>0 e \sqrt{\sin x} exige \sin x\ge0, sendo a derivada clássica válida quando \sin x>0).

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas de derivação que vamos usar e explicar cada uma de forma intuitiva.
  1. Regra da soma:
\text{Se }F(x)=G(x)+H(x)\text{ então }F'(x)=G'(x)+H'(x).ã
Significado: derivar uma soma é derivar parcela a parcela.
  1. Regra do produto:
\text{Se }G(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }G'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Significado: para o produto, deriva-se um fator mantendo o outro e soma-se o termo simétrico.
  1. Regra da cadeia:
\text{Se }G(x)=h(g(x))\text{ então }G'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).ã
Significado: derivar uma composição exige multiplicar a derivada da função externa (avaliada na interna) pela derivada da função interna.
  1. Derivadas elementares úteis:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\ln x=\dfrac{1}{x}) para x>0.
  • \dfrac{d}{dx}\big(e^{ax}\big)=a\,e^{ax} para constante a.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{t}\big)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}} para t>0 (aqui t é a variável da função externa).
Vou aplicar essas regras parcela a parcela.

Passo 3

Derivada da primeira parcela x^{2}\ln x. Identificar fatores para a regra do produto:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\ln x.
Calcular as derivadas individuais:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\quad(x>0).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln x\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x, obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln x\big)=2x\ln x + x.

Passo 4

Derivada da segunda parcela \sqrt{\sin x}. Aqui é uma composição: primeira a função externa h(t)=\sqrt{t}=t^{1/2} e a função interna g(x)=\sin x.
Derivada da externa:
h'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}\quad(t>0).
Derivada da interna:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{\sin x}\big)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{\sin x}\big)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}},
válido quando \sin x>0 (para \sin x=0 a raiz está no limite e a derivada clássica tende a infinito).

Passo 5

Derivada da terceira parcela e^{5x}. É uma exponencial com argumento linear 5x. Usando a regra para exponenciais compostas (cadeia simples):
\frac{d}{dx}\big(e^{5x}\big)=5\,e^{5x}.
Explicação rápida: a derivada da exponencial é ela mesma, e multiplica-se pela derivada do expoente 5x, que é 5.

Passo 6

Agora juntamos as derivadas das três parcelas usando a linearidade da derivada (regra da soma). Assim
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln x\big) + \frac{d}{dx}\big(\sqrt{\sin x}\big) + \frac{d}{dx}\big(e^{5x}\big).
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores:
f'(x)=\big(2x\ln x + x\big) + \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} + 5e^{5x}.

Passo 7

Fazer uma pequena limpeza estética (já está praticamente simplificado). A derivada final é
f'(x)=2x\ln x + x + \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} + 5e^{5x}.
Lembrando domínio de validade: para que f e f' estejam definidos nas formas escritas, exige-se x>0 (para \ln x) e \sin x>0 (para \sqrt{\sin x} e sua derivada). Onde \sin x=0 a derivada da raiz clássica não é finita.

Resposta

f'(x)=2x\ln x + x + \dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} + 5e^{5x}

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