Questão 8. Determine os limites nos itens abaixo se existirem
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x+1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é \dfrac{1}{x+1}, definida para todo x tal que x\neq -1.
  • O limite é unilateral pela esquerda (indicado por -), ou seja, estamos aproximando x de -1 com valores x<-1.
  • Ao aproximar x de -1, o denominador x+1 tende a zero; portanto é crucial analisar o sinal de x+1 quando x\to-1^-.

Passo 2

Troca de variável para simplificar a análise. Defina
h = x+1.
Quando x\to -1^- (isto é, x aproxima-se de -1 pela esquerda), tem-se
h = x+1 \to 0^-,
ou seja, h tende a zero por valores negativos (pequenos negativos). A expressão original fica
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{h}.
Agora o problema reduz-se a estudar o comportamento de \dfrac{1}{h} quando h\to 0^-.

Passo 3

Análise do sinal e do crescimento em módulo. Se h é um número negativo muito pequeno (por exemplo h=-0{,}1, h=-0{,}01, h=-0{,}001), então
\frac{1}{h}=-10,\quad -100,\quad -1000,
respectivamente: os valores ficam cada vez mais negativos, com módulo crescendo sem limite. Isso sugere que a função diverge para -\infty.
Podemos formalizar isso no sentido de limite infinito: queremos mostrar que para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, se -1-\delta<x<-1, então \dfrac{1}{x+1}<-M.
Tomando h=x+1, a condição -1-\delta<x<-1 é equivalente a -\delta<h<0. Escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se -\delta<h<0, então 0< -h < \dfrac{1}{M}, ou seja -\dfrac{1}{M}<h<0. Como h<0, ao inverter a desigualdade obtemos
\frac{1}{h} < -M.
Logo, para qualquer M>0 existe \delta=1/M que garante \dfrac{1}{x+1}<-M sempre que -1-\delta<x<-1. Isso é a definição de limite que diverge para -\infty quando x\to-1^-.

Passo 4

Conclusão: ao aproximar x de -1 pela esquerda, \dfrac{1}{x+1} torna-se arbitrariamente negativo — isto é, diverge para -\infty. Em linguagem comum: o limite não existe como número real finito; o comportamento é de queda sem limite.

Resposta

-\infty

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