Questão 8. Determine os limites nos itens abaixo se existirem
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
, definida para todo tal que . - O limite é unilateral pela esquerda (indicado por
), ou seja, estamos aproximando de com valores . - Ao aproximar
de , o denominador tende a zero; portanto é crucial analisar o sinal de quando .
Passo 2
Troca de variável para simplificar a análise. Defina
Quando
(isto é,
aproxima-se de
pela esquerda), tem-se
ou seja,
tende a zero por valores negativos (pequenos negativos). A expressão original fica
Agora o problema reduz-se a estudar o comportamento de
quando
.
Passo 3
Análise do sinal e do crescimento em módulo. Se
é um número negativo muito pequeno (por exemplo
,
,
), então
respectivamente: os valores ficam cada vez mais negativos, com módulo crescendo sem limite. Isso sugere que a função diverge para
.
Podemos formalizar isso no sentido de limite infinito: queremos mostrar que para qualquer
existe
tal que, se
, então
.
Tomando
, a condição
é equivalente a
. Escolha
. Se
, então
, ou seja
. Como
, ao inverter a desigualdade obtemos
Logo, para qualquer
existe
que garante
sempre que
. Isso é a definição de limite que diverge para
quando
.
Passo 4
Conclusão: ao aproximar
de
pela esquerda,
torna-se arbitrariamente negativo — isto é, diverge para
. Em linguagem comum: o limite não existe como número real finito; o comportamento é de queda sem limite.