Questão 2. Seja g(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
a) Encontre
i. \lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)
ii. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)
b) O \lim _{x \rightarrow 1} g(x) existe?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
e pede:
  • (a.i) calcular \lim_{x\to1^{+}} g(x) (limite pela direita);
  • (a.ii) calcular \lim_{x\to1^{-}} g(x) (limite pela esquerda);
  • (b) responder se \lim_{x\to1} g(x) existe.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de g(x) é uma fração com denominador x-1.
  • Se tentarmos substituir x=1 diretamente, obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada (ou seja, não dá o valor do limite por simples substituição).
  • A presença da forma \dfrac{0}{0} sugere que pode haver uma simplificação algébrica (fatoração) que resolva a indeterminação. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Fatoração do numerador e simplificação (a parte algébrica que resolve a indeterminação).
Explicando passo a passo a fatoração:
  • A identidade “diferença de quadrados” diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aqui temos x^{2}-1, que é x^{2}-1^{2}. Aplicando a identidade:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Colocando isso na expressão de g(x):
g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Agora, para x\neq1, podemos cancelar o fator comum x-1 no numerador e no denominador. Após o cancelamento obtemos
g(x)=x+1\qquad\text{para }x\neq1.
Observação didática: o cancelamento é válido somente quando x-1\neq0 (ou seja, x\neq1). A função original está indefinida em x=1 porque o denominador original era zero, mas para estudar limites nos interessam os valores de g(x) quando x se aproxima de 1 sem ser exatamente 1; nesses pontos usamos a forma simplificada x+1.

Passo 3

Conceito e cálculo do limite pela direita \lim_{x\to1^{+}} g(x).
Explicação do conceito: o limite pela direita \lim_{x\to1^{+}} g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x tende para 1 com x>1 (ou seja, vindo da direita). Se para todos os x próximos de 1 mas não iguais a 1 temos g(x)=x+1, então o comportamento de g perto de 1 é o mesmo que o de x+1.
  • Como x+1 é um polinômio (função contínua), o limite quando x\to1 é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to1^{+}} g(x)=\lim_{x\to1^{+}} (x+1)=1+1=2.
Breve nota didática: polinômios são funções contínuas em todo lugar, logo \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p e qualquer ponto a.

Passo 4

Conceito e cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to1^{-}} g(x).
Explicação do conceito: o limite pela esquerda \lim_{x\to1^{-}} g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x tende para 1 com x<1 (ou seja, vindo da esquerda). Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, para x próximos de 1 com x\neq1 vale g(x)=x+1.
  • Portanto:
\lim_{x\to1^{-}} g(x)=\lim_{x\to1^{-}} (x+1)=1+1=2.

Passo 5

Decisão sobre existência do limite \lim_{x\to1} g(x) e observação final.
Regra para existência de limite no ponto: o limite \lim_{x\to1} g(x) existe se, e somente se, as duas one-sided limits forem iguais:
\lim_{x\to1^{+}} g(x)=\lim_{x\to1^{-}} g(x).
Como ambas são 2, concluímos que o limite existe e vale 2:
\lim_{x\to1} g(x)=2.
Nota adicional (útil para prova): mesmo que o limite exista, a função g original está indefinida em x=1 (porque o denominador original era zero). Isso é chamado de descontinuidade removível: poderia-se redefinir g(1)=2 para tornar a função contínua em x=1.

Resposta

a.i) \lim_{x\to1^{+}} g(x)=2
a.ii) \lim_{x\to1^{-}} g(x)=2
b) Sim. \lim_{x\to1} g(x)=2

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