Questão 2. Seja
a) Encontre
i.
ii.
b) O
existe?
a) Encontre
i.
ii.
b) O
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- (a.i) calcular
(limite pela direita); - (a.ii) calcular
(limite pela esquerda); - (b) responder se
existe.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é uma fração com denominador . - Se tentarmos substituir
diretamente, obtemos a forma , que é uma forma indeterminada (ou seja, não dá o valor do limite por simples substituição). - A presença da forma
sugere que pode haver uma simplificação algébrica (fatoração) que resolva a indeterminação. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Fatoração do numerador e simplificação (a parte algébrica que resolve a indeterminação).
Explicando passo a passo a fatoração:
Explicando passo a passo a fatoração:
- A identidade “diferença de quadrados” diz que, para quaisquer
e ,
- Aqui temos
, que é . Aplicando a identidade:
Colocando isso na expressão de
:
Agora, para
, podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador. Após o cancelamento obtemos
Observação didática: o cancelamento é válido somente quando
(ou seja,
). A função original está indefinida em
porque o denominador original era zero, mas para estudar limites nos interessam os valores de
quando
se aproxima de
sem ser exatamente
; nesses pontos usamos a forma simplificada
.
Passo 3
Conceito e cálculo do limite pela direita
.
Explicação do conceito: o limite pela direita é o valor que
se aproxima quando
tende para
com
(ou seja, vindo da direita). Se para todos os
próximos de
mas não iguais a
temos
, então o comportamento de
perto de
é o mesmo que o de
.
Explicação do conceito: o limite pela direita
- Como
é um polinômio (função contínua), o limite quando é obtido por substituição direta:
Breve nota didática: polinômios são funções contínuas em todo lugar, logo
para qualquer polinômio
e qualquer ponto
.
Passo 4
Conceito e cálculo do limite pela esquerda
.
Explicação do conceito: o limite pela esquerda é o valor que
se aproxima quando
tende para
com
(ou seja, vindo da esquerda). Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, para
próximos de
com
vale
.
Explicação do conceito: o limite pela esquerda
- Portanto:
Passo 5
Decisão sobre existência do limite
e observação final.
Regra para existência de limite no ponto: o limite existe se, e somente se, as duas one-sided limits forem iguais:
Regra para existência de limite no ponto: o limite
Como ambas são
, concluímos que o limite existe e vale
:
Nota adicional (útil para prova): mesmo que o limite exista, a função
original está indefinida em
(porque o denominador original era zero). Isso é chamado de descontinuidade removível: poderia-se redefinir
para tornar a função contínua em
.
Resposta
a.i)
a.ii)
b) Sim.
a.ii)
b) Sim.