Questão 2. Determine o maior intervalo de convergência I, da série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{4 n^{2}+1}.
A I=(-1,1].
B A série converge somente em x=0.
C I=[-4,1].
  • I=[-1,1].
E I=(-4,1).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior intervalo de convergência I da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{4n^{2}+1}.
Informações dadas e claras no enunciado:
  • A série é uma série de potências centrada em 0 com termo geral (-1)^{n}\dfrac{x^{n}}{4n^{2}+1}.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x para os quais essa série converge (o maior intervalo real de convergência).

Passo 2

Vamos identificar o raio de convergência R. Para uma série de potências \sum c_n x^n o raio de convergência é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}.
Aqui os coeficientes são c_n = (-1)^n\frac{1}{4n^{2}+1}. Vou explicar o porquê dessa fórmula rapidamente: a ideia é usar o teste da raiz (ou a definição de raio de convergência) que mede a taxa exponencial de decaimento dos coeficientes; se \sqrt[n]{|c_n|} tende para L, então a série converge para |x|<1/L e diverge para |x|>1/L.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}. Primeiro observe que
|c_n|=\frac{1}{4n^{2}+1}.
Então
\sqrt[n]{|c_n|}=(4n^{2}+1)^{-1/n}.
Para ver o limite, tomo logaritmo (é uma técnica padrão para limites do tipo a_n^{1/n}):
\ln\big((4n^{2}+1)^{-1/n}\big)=-\frac{1}{n}\ln(4n^{2}+1).
Como \ln(4n^{2}+1) cresce como \ln n^{2}=2\ln n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln(4n^{2}+1)=0,
portanto
\lim_{n\to\infty}\ln\big((4n^{2}+1)^{-1/n}\big)=0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}(4n^{2}+1)^{-1/n}=e^{0}=1.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=1.

Passo 4

Com isso o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge pelo menos para |x|<1 (intervalo aberto (-1,1)). Agora precisamos testar os extremos x=1 e x=-1 separadamente para saber se eles pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 5

Testando x=1. Substituindo x=1 obtemos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{4n^{2}+1}.
Esta é uma série alternada da forma \sum (-1)^n b_n com b_n=\dfrac{1}{4n^{2}+1}. Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n\ge 0, b_{n+1}\le b_n (sequência não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série converge. Aqui:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{4(n+1)^2+1}<\dfrac{1}{4n^{2}+1}=b_n, pois o denominador aumenta com n. Logo é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=0 porque 4n^{2}+1\to\infty.
    Portanto a série converge em x=1. Na verdade, podemos também notar que a série de termos absolutos \sum b_n=\sum \dfrac{1}{4n^{2}+1} converge (ver passo seguinte), então a convergência em x=1 é absoluta.

Passo 6

Testando x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{n}}{4n^{2}+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1},
pois (-1)^n(-1)^n=(-1)^{2n}=1. Esta é uma série de termos positivos. Para testar convergência comparamos com uma série p-série conhecida: para n\ge1,
\frac{1}{4n^{2}+1}\le \frac{1}{4n^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente ( p-série com p=2>1), pelo teste da comparação a série \sum \dfrac{1}{4n^{2}+1} também converge. Logo a série converge em x=-1 (e novamente, é convergente absolutamente).

Passo 7

Conclusão: a série converge para todo x com |x|<1 (pelo raio R=1) e também converge em ambos os extremos x=1 e x=-1. Portanto o maior intervalo de convergência é
I=[-1,1].

Resposta

[-1,1]

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