Questão 2. Determine o maior intervalo de convergência
, da série
.
A
.
B A série converge somente em
.
C
.
-
.
E
.
B A série converge somente em
C
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior intervalo de convergência
da série
Informações dadas e claras no enunciado:
- A série é uma série de potências centrada em
com termo geral . - Precisamos encontrar todos os valores de
para os quais essa série converge (o maior intervalo real de convergência).
Passo 2
Vamos identificar o raio de convergência
. Para uma série de potências
o raio de convergência é dado por
Aqui os coeficientes são
. Vou explicar o porquê dessa fórmula rapidamente: a ideia é usar o teste da raiz (ou a definição de raio de convergência) que mede a taxa exponencial de decaimento dos coeficientes; se
tende para
, então a série converge para
e diverge para
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro observe que
Então
Para ver o limite, tomo logaritmo (é uma técnica padrão para limites do tipo
):
Como
cresce como
, temos
portanto
Logo
.
Passo 4
Com isso o raio de convergência é
Isto significa que a série converge pelo menos para
(intervalo aberto
). Agora precisamos testar os extremos
e
separadamente para saber se eles pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 5
Testando
. Substituindo
obtemos a série
Esta é uma série alternada da forma
com
. Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se
,
(sequência não crescente) e
, então a série converge. Aqui:
-
para todo . -
, pois o denominador aumenta com . Logo é decrescente. -
porque .
Portanto a série converge em. Na verdade, podemos também notar que a série de termos absolutos converge (ver passo seguinte), então a convergência em é absoluta.
Passo 6
Testando
. Substituindo
obtemos
pois
. Esta é uma série de termos positivos. Para testar convergência comparamos com uma série
-série conhecida: para
,
Como
é convergente (
-série com
), pelo teste da comparação a série
também converge. Logo a série converge em
(e novamente, é convergente absolutamente).
Passo 7
Conclusão: a série converge para todo
com
(pelo raio
) e também converge em ambos os extremos
e
. Portanto o maior intervalo de convergência é