A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}, definida em todos os pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (porque no ponto (0,0) o denominador é 0).
O objetivo é: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se \left|f(x,y)-0\right|<\varepsilon.
Passo 2
Relembrando a definição de limite (em linguagem prática): dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então \left|f(x,y)\right|<\varepsilon.
Aqui a norma usada é a distância euclidiana \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vou construir uma desigualdade que permita relacionar \left|f(x,y)\right| com \sqrt{x^{2}+y^{2}}, e aí escolher \delta em função de \varepsilon.
Passo 3
Calculemos uma estimativa simples para \left|f(x,y)\right|. Para (x,y)\neq(0,0) tem-se
Isso mostra exatamente que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=\varepsilon) tal que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica \left|f(x,y)\right|<\varepsilon.
Passo 6
Concluímos, portanto, pela definição de limite, que