Questão 3: Usando a definição de limite, prove que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y}{x^{4}+y^{4}}=0

Passo 1

O enunciado pede provar, usando a definição (épsilon–delta) de limite para funções de duas variáveis, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}=0.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}, definida em todos os pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (porque no ponto (0,0) o denominador é 0).
  • O objetivo é: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se \left|f(x,y)-0\right|<\varepsilon.

Passo 2

Relembrando a definição de limite (em linguagem prática): dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então \left|f(x,y)\right|<\varepsilon.
Aqui a norma usada é a distância euclidiana \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vou construir uma desigualdade que permita relacionar \left|f(x,y)\right| com \sqrt{x^{2}+y^{2}}, e aí escolher \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculemos uma estimativa simples para \left|f(x,y)\right|. Para (x,y)\neq(0,0) tem-se
\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}\right| = \frac{|x|^{4}\,|y|}{x^{4}+y^{4}}.
Fatorando |y|,
\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}\right| = |y|\cdot\frac{|x|^{4}}{x^{4}+y^{4}}.
Como x^{4}\ge 0 e y^{4}\ge 0, vale a desigualdade elementar
\frac{|x|^{4}}{x^{4}+y^{4}}\le 1.
Portanto
\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}\right|\le |y|.

Passo 4

Agora relacionamos |y| com a distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Pelo fato de y^{2}\le x^{2}+y^{2} temos
|y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Juntando com a desigualdade anterior obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa é a chave: o valor absoluto da função é limitado pela distância ao ponto (0,0).

Passo 5

Aplicando a definição épsilon–delta: seja dado um \varepsilon>0. Escolha
\delta=\varepsilon.
Se (x,y) satisfaz 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então pelas desigualdades do passo anterior
\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Isso mostra exatamente que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=\varepsilon) tal que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica \left|f(x,y)\right|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos, portanto, pela definição de limite, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{4}}=0.

Resposta

0

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