Questão 4. Determine, se possível, x \in \Re para que a matriz \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 x & 1 \\\ x^{2} & 0 & -4 x \\\ x+1 & x^{3} & 0\end{array}\right) seja:
a) simétrica.
b) anti-simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, quando possível, os valores de x\in\Re tais que a matriz
Não há outro x possível porque a segunda equação já forçou x=0. Portanto a única solução que satisfaz todas é x=0.
Passo 4
Entendendo a condição de anti-simetria (explicação didática).
Uma matriz é anti-simétrica (ou skewsymmetric) quando A^{T}=-A. Isso significa que, para todo par i,j,
a_{ij}=-a_{ji}.
Em particular, todos os elementos da diagonal devem ser 0 (pois a_{ii}=-a_{ii} implica a_{ii}=0); no nosso caso a diagonal já é 0, então essa condição está satisfeita.
Para as entradas fora da diagonal, obtemos as equações:
Cheque rápido: as outras raízes possíveis das equações individuais não importam se não tornarem todas verdadeiras simultaneamente. Por exemplo, a primeira equação 2x=-x^{2} pode ser rearranjada para x( x+2)=0, dando x=0 ou x=-2; a terceira dá x(x^{2}-4)=0, ou x=0,\pm 2. Mas a segunda equação só permite x=-2. Assim, a interseção das três exigências é x=-2 (e não x=0 porque a segunda equação falha para x=0). Logo a única solução é x=-2.