Questão 4. Determine, se possível, x \in \Re para que a matriz \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 x & 1 \\\ x^{2} & 0 & -4 x \\\ x+1 & x^{3} & 0\end{array}\right) seja:
a) simétrica.
b) anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, quando possível, os valores de x\in\Re tais que a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 2x & 1\\[4pt] x^{2} & 0 & -4x\\[4pt] x+1 & x^{3} & 0 \end{pmatrix}
seja:
a) simétrica;
b) anti-simétrica.
Informações dadas (todos os dados vêm da própria matriz):
  • Elemento (1,2) é 2x e (2,1) é x^{2}.
  • Elemento (1,3) é 1 e (3,1) é x+1.
  • Elemento (2,3) é -4x e (3,2) é x^{3}.
  • Todos os elementos da diagonal são 0.]

Passo 2

Entendendo o que significa exigir simetria (aqui explicação didática e prática).
  • Uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, isto é, A=A^{T}\). Isso significa que, para todo par de índices \(i,j\), \[a_{ij}=a_{ji}.
  • Na prática, para nossa matriz isso gera três igualdades entre pares correspondentes de entradas fora da diagonal:
\begin{cases} 2x = x^{2},\\[4pt] 1 = x+1,\\[4pt] -4x = x^{3}. \end{cases}
Vou resolver essas equações simultaneamente (todas devem valer ao mesmo tempo) para encontrar os possíveis valores de (x].]

Passo 3

Resolver as equações para simetria (passo a passo, sem pular etapas).
  • Da segunda equação 1 = x+1 temos
x+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Como as três equações devem ser satisfeitas simultaneamente, testamos x=0 nas outras duas:
    • Na primeira equação 2x=x^{2}: substituindo x=0
    2\cdot 0 = 0^{2}\quad\Rightarrow\quad 0=0,que é verdade.
    • Na terceira equação -4x = x^{3}: substituindo x=0
    -4\cdot 0 = 0^{3}\quad\Rightarrow\quad 0=0,também verdade.
  • Não há outro x possível porque a segunda equação já forçou x=0. Portanto a única solução que satisfaz todas é x=0.

Passo 4

Entendendo a condição de anti-simetria (explicação didática).
  • Uma matriz é anti-simétrica (ou skewsymmetric) quando A^{T}=-A. Isso significa que, para todo par i,j,
a_{ij}=-a_{ji}.
  • Em particular, todos os elementos da diagonal devem ser 0 (pois a_{ii}=-a_{ii} implica a_{ii}=0); no nosso caso a diagonal já é 0, então essa condição está satisfeita.
  • Para as entradas fora da diagonal, obtemos as equações:
\begin{cases} 2x = -x^{2},\\[4pt] 1 = -(x+1),\\[4pt] -4x = -x^{3}. \end{cases}
Vou resolver essas três equações simultaneamente.]

Passo 5

Resolver as equações para anti-simetria (detalhando as manipulações).
  • Da segunda equação 1 = -(x+1) temos
1 = -x -1 \quad\Rightarrow\quad -x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = -2.
  • Agora verificar se x=-2 satisfaz as outras duas equações:
    • Primeira: 2x = -x^{2}. Substituindo x=-2:
    2\cdot(-2) = -(-2)^{2} \quad\Rightarrow\quad -4 = -4,verdadeiro.
    • Terceira: -4x = -x^{3}. Substituindo x=-2:
    -4\cdot(-2) = -(-2)^{3} \quad\Rightarrow\quad 8 = -(-8) \quad\Rightarrow\quad 8=8,também verdadeiro.
  • Cheque rápido: as outras raízes possíveis das equações individuais não importam se não tornarem todas verdadeiras simultaneamente. Por exemplo, a primeira equação 2x=-x^{2} pode ser rearranjada para x( x+2)=0, dando x=0 ou x=-2; a terceira dá x(x^{2}-4)=0, ou x=0,\pm 2. Mas a segunda equação só permite x=-2. Assim, a interseção das três exigências é x=-2 (e não x=0 porque a segunda equação falha para x=0). Logo a única solução é x=-2.

Resposta

a) x=0
b) x=-2

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