Questão 3. Considere as seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\\\ -6 & 7\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right) e E=\left(\begin{array}{cc}5 & 4 \\\\ 6 & 11\end{array}\right).
Determine 5 A-2 B e 2 A+3 B.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -6 & 7\end{pmatrix},
e pede para determinar as duas expressões matriciais:
5A-2B \qquad\text{e}\qquad 2A+3B.]

Passo 2

Lembrando como operar: multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada da matriz por esse escalar. Se M=(m_{ij}) então kM=(k\,m_{ij}). Somar ou subtrair matrizes de mesma dimensão é feito entrada a entrada: se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) então M\pm N=(m_{ij}\pm n_{ij}). Vou aplicar essas duas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular 5A multiplicando cada entrada de A por 5:
5A = 5\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\cdot 1 & 5\cdot 2 \\[4pt] 5\cdot 3 & 5\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 10 \\[4pt] 15 & -20\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular 2B multiplicando cada entrada de B por 2:
2B = 2\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -6 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot 5 & 2\cdot 0 \\[4pt] 2\cdot(-6) & 2\cdot 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] -12 & 14\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora subtrair 2B de 5A entrada a entrada para obter 5A-2B:
5A-2B = \begin{pmatrix}5 & 10 \\[4pt] 15 & -20\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] -12 & 14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-10 & 10-0 \\[4pt] 15-(-12) & -20-14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & 10 \\[4pt] 27 & -34\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para calcular 2A+3B faço primeiro 2A e 3B separadamente (mesma ideia de multiplicação por escalar).

Passo 7

Calcular 2A:
2A = 2\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & -8\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular 3B:
3B = 3\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -6 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15 & 0 \\[4pt] -18 & 21\end{pmatrix}.]

Passo 9

Somar 2A e 3B entrada a entrada para obter 2A+3B:
2A+3B = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & -8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}15 & 0 \\[4pt] -18 & 21\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+15 & 4+0 \\[4pt] 6+(-18) & -8+21\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17 & 4 \\[4pt] -12 & 13\end{pmatrix}.]

Resposta

5A-2B=\begin{pmatrix}-5 & 10 \\[4pt] 27 & -34\end{pmatrix}
2A+3B=\begin{pmatrix}17 & 4 \\[4pt] -12 & 13\end{pmatrix}]

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