Questão 4: Determine o(s) valor(es) de máximo e mínimo locais ou ponto(s) de sela de f(x, y)=\frac{y x^{3}}{3}-4 x y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de f e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função dada é
f(x,y)=\frac{y x^{3}}{3}-4 x y.
Informações relevantes que temos já no enunciado:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • A tarefa: achar pontos de máximo/local, mínimo/local ou sela (ou seja, achar pontos críticos e classificá-los).

Passo 2

Primeiro passo técnico: achar os pontos críticos. Um ponto crítico ocorre quando o gradiente é nulo, isto é, quando as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente. Vou calcular as derivadas parciais.
Explicação rápida (fórmula usada): a derivada parcial de f em relação a x, anotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x, é a derivada tratando y como constante. Similar para f_y.
Calculemos f_x e f_y:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y x^{3}}{3}-4 x y\right) = y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right) - 4y = y\cdot x^{2} - 4y = y(x^{2}-4).
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y x^{3}}{3}-4 x y\right) = \frac{x^{3}}{3}-4x.
Para haver ponto crítico precisamos resolver o sistema
f_x=0,\qquad f_y=0,
isto é
y(x^{2}-4)=0,\qquad \frac{x^{3}}{3}-4x=0.

Passo 3

Resolver o sistema de equações. Da primeira equação y(x^{2}-4)=0 temos duas possibilidades:
  • y=0, ou
  • x^{2}-4=0, isto é, x=\pm 2.
Estude cada caso:
Caso A: y=0. Substituindo em f_y=0,
\frac{x^{3}}{3}-4x=0.
Fatorando x,
x\left(\frac{x^{2}}{3}-4\right)=0.
Assim x=0 ou \frac{x^{2}}{3}-4=0. Da segunda alternativa,
\frac{x^{2}}{3}-4=0 \Longrightarrow x^{2}=12 \Longrightarrow x=\pm 2\sqrt{3}.
Logo do caso y=0 obtemos três pontos críticos: (0,0), \left(2\sqrt{3},0\right) e \left(-2\sqrt{3},0\right).
Caso B: x=\pm 2. Substituindo em f_y,
f_y\big|_{x=2}=\frac{2^{3}}{3}-4\cdot2=\frac{8}{3}-8=\frac{8-24}{3}=-\frac{16}{3}\neq0,
f_y\big|_{x=-2}=\frac{(-2)^{3}}{3}-4(-2)=-\frac{8}{3}+8=\frac{-8+24}{3}=\frac{16}{3}\neq0.
Portanto não há soluções com x=\pm 2 (a menos que f_y fosse zero, o que não é o caso). Assim os únicos pontos críticos são exatamente
(0,0),\quad \left(2\sqrt{3},0\right),\quad \left(-2\sqrt{3},0\right).

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis.
Explicação do teste (fórmula): definem-se as segundas derivadas
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
O discriminante (determinante do Hessiano) é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
Regras de classificação no ponto crítico (x_0,y_0):
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0 então (x_0,y_0) é mínimo local.
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0 então (x_0,y_0) é máximo local.
  • Se D(x_0,y_0)<0 então (x_0,y_0) é ponto de sela.
  • Se D(x_0,y_0)=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas para nossa f:
A partir de f_x=y(x^{2}-4) temos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y(x^{2}-4)\big)=y\cdot 2x = 2xy.
A partir de f_y=\frac{x^{3}}{3}-4x (que não depende de y) obtemos
f_{yy}=0.
A derivada mista vale
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y(x^{2}-4)\big)=x^{2}-4.
Logo o discriminante é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}=(2xy)\cdot 0 - (x^{2}-4)^{2} = -\big(x^{2}-4\big)^{2}.

Passo 5

Avaliar D e classificar em cada ponto crítico encontrado.
Para (0,0):
D(0,0)=-\big(0^{2}-4\big)^{2}=-(-4)^{2}=-16<0.
Como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela.
Para \left(2\sqrt{3},0\right):
x=2\sqrt{3}\implies x^{2}=12,\qquad D=-\big(12-4\big)^{2}=-8^{2}=-64<0.
Logo D<0 e \left(2\sqrt{3},0\right) é ponto de sela.
Para \left(-2\sqrt{3},0\right):
x=-2\sqrt{3}\implies x^{2}=12,\qquad D=-\big(12-4\big)^{2}=-64<0.
Também D<0 e \left(-2\sqrt{3},0\right) é ponto de sela.
Observação final: em todos os três pontos críticos o discriminante é negativo, portanto todos são pontos de sela. Não há máximos locais nem mínimos locais.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
\left(2\sqrt{3},0\right) — ponto de sela
\left(-2\sqrt{3},0\right) — ponto de sela

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