Questão 4: Determine o(s) valor(es) de máximo e mínimo locais ou ponto(s) de sela de f(x, y)=\frac{y x^{3}}{3}-4 x y.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos de f e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função dada é
f(x,y)=\frac{y x^{3}}{3}-4 x y.
Informações relevantes que temos já no enunciado:
A expressão explícita de f(x,y).
A tarefa: achar pontos de máximo/local, mínimo/local ou sela (ou seja, achar pontos críticos e classificá-los).
Passo 2
Primeiro passo técnico: achar os pontos críticos. Um ponto crítico ocorre quando o gradiente é nulo, isto é, quando as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente. Vou calcular as derivadas parciais.
Explicação rápida (fórmula usada): a derivada parcial de f em relação a x, anotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x, é a derivada tratando y como constante. Similar para f_y.
Também D<0 e \left(-2\sqrt{3},0\right) é ponto de sela.
Observação final: em todos os três pontos críticos o discriminante é negativo, portanto todos são pontos de sela. Não há máximos locais nem mínimos locais.
Resposta
(0,0) — ponto de sela \left(2\sqrt{3},0\right) — ponto de sela \left(-2\sqrt{3},0\right) — ponto de sela