Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
dada por
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função está escrita com potências e raiz, então aparece
no denominador. - Pela presença de
(raiz quadrada) no denominador, o domínio natural da expressão original exige , e como o denominador não pode ser zero, precisamos de .
A tarefa é calcularpara os em que a função está definida (ou seja, para ).
Passo 2
Escolha do método: o jeito mais simples aqui é usar álgebra para simplificar a expressão antes de derivar, porque manipular potências é mais direto do que aplicar regra do quociente. Mostrar rapidamente a alternativa: poderíamos usar a regra do quociente, mas isso é mais trabalhoso. Vou simplificar primeiro usando as regras de expoentes e depois aplicar a regra de derivação mais básica (regra da potência).
Passo 3
Regra de expoentes usada: para
e números reais
vale
. Aqui temos potências de
:
Calcule a diferença dos expoentes:
Portanto a função simplificada é
valendo essa igualdade para
(lembre que esse domínio vem da forma original com
no denominador).
Passo 4
A regra de derivação que vamos usar (regra da potência): para qualquer número real
,
valendo onde a função está definida. No caso
, temos
Como
para
, aplica-se diretamente esta regra.
Passo 5
Conclusão do cálculo: a derivada de
no domínio da função (isto é, para
) é a constante
. Para conferir (checagem rápida) poderia-se ter aplicado a regra do quociente a partir da expressão original
e obter o mesmo resultado, mas a simplificação evita trabalho desnecessário.