Determine a derivada de cada função:
f(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função f dada por
f(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função está escrita com potências e raiz, então aparece \sqrt{x} no denominador.
  • Pela presença de \sqrt{x} (raiz quadrada) no denominador, o domínio natural da expressão original exige x\ge 0, e como o denominador não pode ser zero, precisamos de x>0.
    A tarefa é calcular f'(x) para os x em que a função está definida (ou seja, para x>0).

Passo 2

Escolha do método: o jeito mais simples aqui é usar álgebra para simplificar a expressão antes de derivar, porque manipular potências é mais direto do que aplicar regra do quociente. Mostrar rapidamente a alternativa: poderíamos usar a regra do quociente, mas isso é mais trabalhoso. Vou simplificar primeiro usando as regras de expoentes e depois aplicar a regra de derivação mais básica (regra da potência).

Passo 3

Regra de expoentes usada: para a\neq 0 e números reais m,n vale \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Aqui temos potências de x:
x^{\frac{3}{2}} \div x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}.
Calcule a diferença dos expoentes:
\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1.
Portanto a função simplificada é
f(x)=x^{1}=x,
valendo essa igualdade para x>0 (lembre que esse domínio vem da forma original com \sqrt{x} no denominador).

Passo 4

A regra de derivação que vamos usar (regra da potência): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
valendo onde a função está definida. No caso n=1, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1\cdot x^{0}=1.
Como f(x)=x para x>0, aplica-se diretamente esta regra.

Passo 5

Conclusão do cálculo: a derivada de f no domínio da função (isto é, para x>0) é a constante 1. Para conferir (checagem rápida) poderia-se ter aplicado a regra do quociente a partir da expressão original \dfrac{x^{3/2}}{x^{1/2}} e obter o mesmo resultado, mas a simplificação evita trabalho desnecessário.

Resposta

f'(x)=1,\quad x>0

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