Questão 5 Determine as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - Não há outras restrições dadas (mas é bom lembrar que
onde a função está definida). - A tarefa é calcular a derivada
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Motivo: escrever
como potência
permite aplicar a regra da potência (que é bem elementar) e em seguida a regra da cadeia para a função interna
. Esse caminho usa conceitos básicos e rápidos para prova.
Passo 3
Lembrando as fórmulas que vou usar:
- Regra da potência: se
com constante, então . - Regra da cadeia: se
, então . - Derivada da função cosseno:
.
Passo 4
Reescrevo a função usando potência:
Agora aplico a regra da potência com
e
.
Passo 5
Aplicando regra da potência e depois a cadeia:
Substituo
:
Passo 6
Simplifico os sinais e potências:
Escrevendo em forma de fração:
Passo 7
Mostro a forma equivalente mais comum usando as funções secante e tangente:
- Definições:
e .
Multiplicando, obtém-se
Portanto as duas formas são iguais.