Questão 5 Determine as seguintes derivadas:
\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^{\prime}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}.
  • Não há outras restrições dadas (mas é bom lembrar que \cos(x)\neq0 onde a função está definida).
  • A tarefa é calcular a derivada f'(x).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Motivo: escrever f(x) como potência f(x)=(\cos(x))^{-1} permite aplicar a regra da potência (que é bem elementar) e em seguida a regra da cadeia para a função interna \cos(x). Esse caminho usa conceitos básicos e rápidos para prova.

Passo 3

Lembrando as fórmulas que vou usar:
  • Regra da potência: se g(u)=u^{n} com n constante, então g'(u)=n\,u^{n-1}.
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)), então h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
  • Derivada da função cosseno: \dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).

Passo 4

Reescrevo a função usando potência:
f(x)=\left(\cos(x)\right)^{-1}.
Agora aplico a regra da potência com u(x)=\cos(x) e n=-1.

Passo 5

Aplicando regra da potência e depois a cadeia:
f'(x)=(-1)\big(\cos(x)\big)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big).
Substituo \dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x):
f'(x)=(-1)\big(\cos(x)\big)^{-2}\cdot(-\sin(x)).

Passo 6

Simplifico os sinais e potências:
f'(x)=\sin(x)\big(\cos(x)\big)^{-2}.
Escrevendo em forma de fração:
f'(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.

Passo 7

Mostro a forma equivalente mais comum usando as funções secante e tangente:
  • Definições: \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.
    Multiplicando, obtém-se
\operatorname{sec}(x)\tan(x)=\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.
Portanto as duas formas são iguais.

Resposta

\operatorname{sec}(x)\tan(x)

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