Questão 3: Determine as seguintes derivadas utilizando o teorema fundamental do cálculo (TFC).
\frac{d}{d u} \int_{\ln (u)}^{3} \sin ^{\pi}(y) d y

Passo 1

O enunciado pede a derivada em u da função definida por
G(u) = \int_{\ln(u)}^{3} \sin^{\pi}(y)\,dy.
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites dependentes de u, junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis, se
G(u) = \int_{a(u)}^{b(u)} f(y)\,dy,
então
G'(u) = f\bigl(b(u)\bigr)\,b'(u) \;-\; f\bigl(a(u)\bigr)\,a'(u).

Passo 3

No nosso caso temos f(y)=\sin^{\pi}(y), a(u)=\ln(u) e b(u)=3. Logo b'(u)=0 e
a'(u)=\frac{d}{du}\ln(u)=\frac1u.
Aplicando a fórmula:
G'(u) = \sin^{\pi}\bigl(3\bigr)\cdot 0 \;-\; \sin^{\pi}\bigl(\ln(u)\bigr)\cdot \frac1u = -\frac{\sin^{\pi}\bigl(\ln(u)\bigr)}{u}.

Resposta

-\frac{\sin^{\pi}\bigl(\ln(u)\bigr)}{u}.

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