Questão 1: Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2} \sqrt{2} x(\sqrt{x}+\sqrt{5}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \r
\int_{0}^{2} \sqrt{2}\,x\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{5}\bigr)\,dx. \r
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e a regra de potência, pois vamos integrar termos do tipo x^{\alpha}.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando usando distributiva: \r
\sqrt{2}\,x\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{5}\bigr)\r =\sqrt{2}\,x\sqrt{x}+\sqrt{2}\,\sqrt{5}\,x\r =\sqrt{2}\,x^{3/2}+\sqrt{10}\,x.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral para separar em duas integrais: \r
\int_{0}^{2}\sqrt{2}\,x^{3/2}\,dx+\int_{0}^{2}\sqrt{10}\,x\,dx\r =\sqrt{2}\int_{0}^{2}x^{3/2}\,dx+\sqrt{10}\int_{0}^{2}x\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência \displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}:\r
\int_{0}^{2}x^{3/2}\,dx\r =\left[\frac{x^{5/2}}{\tfrac{5}{2}}\right]_{0}^{2}\r =\frac{2}{5}\,2^{5/2}\r =\frac{2\cdot4\sqrt{2}}{5}\r =\frac{8\sqrt{2}}{5},
\int_{0}^{2}x\,dx\r =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}\r =\frac{2^{2}}{2}\r =2.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão separada:\r
\sqrt{2}\cdot\frac{8\sqrt{2}}{5}+\sqrt{10}\cdot2\r =\frac{8\cdot2}{5}+2\sqrt{10}\r =\frac{16}{5}+2\sqrt{10}.

Resposta

\frac{16}{5}+2\sqrt{10}.

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