QUESTÃO 4: Determine se os seguintes sinais são periódicos. Se o forem, encontre o período fundamental:
x(t)=cos (2 t)+sen(3 t)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x(t)=cos(2t)+sin(3t)
e pede para determinar se ele é periódico e, em caso afirmativo, achar o período fundamental.
Conteúdo: sinais contínuos, periodicidade, período de funções seno e cosseno e mínimo múltiplo comum de períodos.

Passo 2

Calcular os períodos de cada termo separadamente.
– Para cos(2t), o período é
T1 = 2pi2 = pi
– Para sin(3t), o período é
T2 = 2pi3

Passo 3

Verificar se a soma é periódica: a soma de dois sinais de períodos T1 e T2 é periódica se, e somente se, a razão
T1T2 = pi2pi/3 = 32
for um número racional. Aqui tfrac32 é racional, logo x(t) é periódico.

Passo 4

Determinar o período fundamental T0 como o menor valor T>0 que seja múltiplo inteiro de T1 e de T2. Buscamos inteiros m,n tais que
m,T1 = n,T2
Escrevendo tfracT2T1=tfrac23, obtemos tfracmn=tfrac23. Tomando o menor par de inteiros positivos (m,n)=(2,3), temos
T0 = 2,T1 = 2pi e também T0 = 3,T2 = 3cdot2pi3=2pi é

Resposta

O sinal x(t)=cos(2t)+sin(3t) é periódico e seu período fundamental é
T0 = 2pi

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