Encontre as menores frequência angulares (
) para as quais os sinais senoidais de tempo discreto com os seguintes períodos fundamentais são periódicos:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para achar as frequências angulares
tais que um sinal senoidal discreto de período fundamental
seja periódico. Em outras palavras, queremos
que garantam
Passo 2
Para um sinal complexo
(e o mesmo vale para senoides reais, via exponenciais de Euler), a condição de periodicidade
implica
Passo 3
A equação
equivale a
Logo todas as soluções são
Passo 4
Se quisermos que
seja o período fundamental, devemos garantir que não exista período menor dividindo
. Isso ocorre quando
. Como
, isso significa que
deve ser ímpar.
Dessa forma, as menores frequências positivas em
que têm período fundamental
são
O menor valor positivo dessa família é
Resposta
As soluções gerais são
e, para ter período fundamental exatamente
, escolhemos
ímpar. O menor
é