Encontre as menores frequência angulares ( Omega ) para as quais os sinais senoidais de tempo discreto com os seguintes períodos fundamentais são periódicos:
(c) N=64

Passo 1

O enunciado pede para achar as frequências angulares Omega tais que um sinal senoidal discreto de período fundamental N=64 seja periódico. Em outras palavras, queremos Omega que garantam
x[n+64]=x[n]forall n

Passo 2

Para um sinal complexo x[n]=e^jmath Omega n (e o mesmo vale para senoides reais, via exponenciais de Euler), a condição de periodicidade x[n+64]=x[n] implica
e^jmath Omega (n+64)=e^jmath Omega n Longrightarrow e^jmath Omegacdot 64=1

Passo 3

A equação e^jmath 64,Omega=1 equivale a
64,Omega = 2pi,m, min Z
Logo todas as soluções são
Omega = 2pi,m64

Passo 4

Se quisermos que 64 seja o período fundamental, devemos garantir que não exista período menor dividindo 64. Isso ocorre quando gcd(m,64)=1. Como 64=2^6, isso significa que m deve ser ímpar.
Dessa forma, as menores frequências positivas em [0,2pi) que têm período fundamental 64 são
Omegam = 2pi,m64 com m=1,3,5,dots,63
O menor valor positivo dessa família é
Omegam=1 = 2pi64 = pi32

Resposta

As soluções gerais são
Omega = 2pi m64,;minZ,
e, para ter período fundamental exatamente 64, escolhemos m ímpar. O menor Omega>0 é
boxedOmega = pi32

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