Encontre as menores frequência angulares ( Omega ) para as quais os sinais senoidais de tempo discreto com os seguintes períodos fundamentais são periódicos:
(d) N=128

Passo 1

O enunciado pede para achar as frequências angulares Omega tais que o sinal discreto
x[n]=sin(Omega n)
seja periódico com período fundamental N=128.
Conteúdo: periodicidade de sinais senoidais em tempo discreto, que usa a condição
;x[n+N]=x[n]; e a identidade sin(alpha+2pi m)=sin(alpha).

Passo 2

Impondo periodicidade, queremos
sinl(Omega(n+N)r)=sin(Omega n) forall n
Pela identidade de fase da senoide, basta ter
Omega N = 2pi m, minZ

Passo 3

Isolando Omega obtemos a solução geral
Omega = 2pi mN

Passo 4

Substituindo N=128, fica
Omega = 2pi m128, minZ
Como frequências em excesso de 2pi dão o mesmo sinal, basta considerar m=0,1,2,dots,127.
A menor frequência angular positiva corresponde a m=1:
Omegamin = 2pi128 = pi64

Resposta

boxedOmega = 2pi m128,;minZ,e a menor positiva é Omegamin=pi64 é

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