Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{2^{n}}{5^{n+2}}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{2^n}{5^{n+2}}
e determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é sequência geométrica, e vamos usar o fato de que quando a razão de uma sequência geométrica r satisfaz \lvert r\rvert<1, então r^n\to0.

Passo 2

Reescrevemos a_n de modo a evidenciar a parte geométrica. Note que
a_n = \frac{2^n}{5^{n+2}} =\frac{2^n}{5^n\cdot5^2} =\frac{1}{5^2}\,\biggl(\frac{2}{5}\biggr)^n =\frac{1}{25}\,\biggl(\frac{2}{5}\biggr)^n.

Passo 3

Identificamos uma sequência geométrica de razão
r = \frac{2}{5}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{2}{5}<1, vale o teorema de que
\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n \;\longrightarrow\; 0 \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 4

Multiplicando a parte que tende a zero pela constante \tfrac1{25}, obtemos
a_n = \frac{1}{25}\,\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n \;\longrightarrow\; \frac{1}{25}\cdot 0 = 0.
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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