Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{e^{n}-e^{-n}}{e^{n}+e^{-n}}\right\};

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{e^{n} - e^{-n}}{e^{n} + e^{-n}}
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo funções exponenciais, e vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior termo exponencial.

Passo 2

Escrevemos a expressão de forma a evidenciar o termo dominante. Note que, para n grande, e^{n} cresce muito mais do que e^{-n}. Ainda assim, vamos dividir numerador e denominador por e^{n}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por e^{n}, obtemos
a_{n} = \frac{e^{n}/e^{n} \;-\; e^{-n}/e^{n}}{e^{n}/e^{n} \;+\; e^{-n}/e^{n}} = \frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}}.

Passo 4

Agora, observe o comportamento de e^{-2n} quando n\to\infty. Como o expoente -2n tende a -\infty, temos
\lim_{n\to\infty} e^{-2n} = 0.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}}, vem
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty} \frac{e^{n} - e^{-n}}{e^{n} + e^{-n}} = 1.

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