Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
\left\{\frac{5^{n}}{1+5^{2 n}}\right\};

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{5^n}{1 + 5^{2n}},
e pede para verificar se ela é monótona e, em caso afirmativo, estudar sua convergência. Vamos usar o teste da razão para monotonicidade (por termos positivos) e, em seguida, calcular o limite para n\to\infty.

Passo 2

Observamos que, para todo n\in\mathbb{N},
5^n>0 \quad\text{e}\quad 1+5^{2n}>0,
logo a_n>0. Para checar se \{a_n\} é decrescente, comparamos a_{n+1} e a_n através da razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{5^{n+1}}{1+5^{2(n+1)}}} {\displaystyle\frac{5^n}{1+5^{2n}}} = 5 \,\frac{1 + 5^{2n}}{1 + 5^{2n+2}}.

Passo 4

Como 5^{2n+2}=25\cdot5^{2n}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 5\,\frac{1 + 5^{2n}}{1 + 25\,5^{2n}}.
Queremos mostrar que isso é menor que 1. Equivalente a
5\,(1 + 5^{2n}) < 1 + 25\,5^{2n} \quad\Longleftrightarrow\quad 5 + 5\cdot5^{2n} < 1 + 25\cdot5^{2n} \quad\Longleftrightarrow\quad 4 < 20\cdot5^{2n}.
Como 20\cdot5^{2n}\ge20\cdot5^2=500>4 para todo n\ge1, segue que
\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}<a_n.

Passo 5

Concluímos que \{a_n\} é estritamente decrescente e, por termos a_n>0, está limitada inferiormente. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, ela converge.

Passo 6

Para encontrar o valor do limite, reescrevemos
a_n = \frac{5^n}{1 + 5^{2n}} = \frac{5^n}{5^{2n}\bigl(\tfrac1{5^{2n}} + 1\bigr)} = \frac{(1/5)^n}{1 + 1/5^{2n}}
e, ao fazer n\to\infty, temos (1/5)^n\to0 e 1/5^{2n}\to0. Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente e converge para 0.)

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