Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é monótona e, em caso afirmativo, estudar sua convergência. Vamos usar o teste da razão para monotonicidade (por termos positivos) e, em seguida, calcular o limite para
.
Passo 2
Observamos que, para todo
,
logo
. Para checar se
é decrescente, comparamos
e
através da razão
Passo 3
Calculamos
Passo 4
Como
, temos
Queremos mostrar que isso é menor que 1. Equivalente a
Como
para todo
, segue que
Passo 5
Concluímos que
é estritamente decrescente e, por termos
, está limitada inferiormente. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, ela converge.
Passo 6
Para encontrar o valor do limite, reescrevemos
e, ao fazer
, temos
e
. Portanto,
Resposta
A sequência é estritamente decrescente e converge para
.)