Questão 1. Determine se a série abaixo é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3}{n^{3}+1}
Justifique sua resposta utilizando um teste adequado.

Passo 1

O enunciado dá a série com termo geral
a_n=\frac{n^{2}+3}{n^{3}+1},\qquad n=1,2,3,\dots
e pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3}{n^{3}+1}
é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula do termo geral a_n está explícita.
  • Os termos são positivos para todo n\ge1 (pois numerador e denominador são positivos).
  • A questão exige justificativa usando um teste adequado.

Passo 2

Vamos escolher um teste adequado. Observação intuitiva: para n grande, os termos comportam-se como
a_n\sim\frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n},
ou seja, “parecem” com os termos da série harmônica \sum 1/n. Como a série harmônica diverge, faz sentido comparar com ela. Um teste formal que usamos é o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test).
Enunciado do Teste da Comparação por Limite (explicado passo a passo):
  • Sejam (a_n) e (b_n) duas sequências com a_n>0 e b_n>0 para todo n.
  • Se existir o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}com 0<L<\infty (isto é, L é finito e positivo), então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas (ambas convergem ou ambas divergem).
    Aqui: vamos tomar b_n=\dfrac{1}{n} (termo da série harmônica).

Passo 3

Aplicar o teste calculando o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}+3}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{n^{2}+3}{n^{3}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+3n}{n^{3}+1}.
Para calcular esse limite, divide-se numerador e denominador por n^{3}:
\frac{n^{3}+3n}{n^{3}+1} =\frac{1+\dfrac{3}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Quando n\to\infty temos \dfrac{3}{n^{2}}\to0 e \dfrac{1}{n^{3}}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+3n}{n^{3}+1}= \frac{1+0}{1+0}=1.
Portanto o limite L existe e é L=1, que é finito e positivo.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação por Limite, como L=1\in(0,\infty), a série \sum a_n e a série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. (Um argumento curto: agrupe os termos em blocos 1,\;1/2,\;(1/3+1/4),\;(1/5+\dots+1/8),\dots. Cada bloco a partir do terceiro soma pelo menos 1/2, então as somas parciais crescem indefinidamente — logo diverge.)
Como a harmônica diverge e as duas séries se comportam da mesma forma pelo teste do limite, conclui-se que a série dada também diverge.

Passo 5

Resumo prático para a prova: identifique o comportamento assintótico do termo geral, compare com 1/n usando o limite; se o limite for um número positivo e finito, basta saber que a harmônica diverge para concluir que a série original diverge.

Resposta

A série é divergente.

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