Questão 1. Determine se a série abaixo é convergente ou divergente:
Justifique sua resposta utilizando um teste adequado.
Passo 1
O enunciado dá a série com termo geral
e pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula do termo geral
está explícita. - Os termos são positivos para todo
(pois numerador e denominador são positivos). - A questão exige justificativa usando um teste adequado.
Passo 2
Vamos escolher um teste adequado. Observação intuitiva: para
grande, os termos comportam-se como
ou seja, “parecem” com os termos da série harmônica
. Como a série harmônica diverge, faz sentido comparar com ela. Um teste formal que usamos é o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test).
Enunciado do Teste da Comparação por Limite (explicado passo a passo):
- Sejam
e duas sequências com e para todo . - Se existir o limite
com (isto é, é finito e positivo), então as séries e convergem ou divergem juntas (ambas convergem ou ambas divergem).
Aqui: vamos tomar(termo da série harmônica).
Passo 3
Aplicar o teste calculando o limite
Para calcular esse limite, divide-se numerador e denominador por
:
Quando
temos
e
, logo
Portanto o limite
existe e é
, que é finito e positivo.
Passo 4
Pelo Teste da Comparação por Limite, como
, a série
e a série
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que a série harmônica
é divergente. (Um argumento curto: agrupe os termos em blocos
. Cada bloco a partir do terceiro soma pelo menos
, então as somas parciais crescem indefinidamente — logo diverge.)
Como a harmônica diverge e as duas séries se comportam da mesma forma pelo teste do limite, conclui-se que a série dada também diverge.
Passo 5
Resumo prático para a prova: identifique o comportamento assintótico do termo geral, compare com
usando o limite; se o limite for um número positivo e finito, basta saber que a harmônica diverge para concluir que a série original diverge.
Resposta
A série é divergente.