Duas fabricantes de cimento no Distrito Federal competem repetidamente em preço. A cada rodada, cada firma pode:
C=\text { cooperar (manter preço), } \quad D=\text { desviar (reduzir preço). }çç
Os payoffs de uma única rodada são:
\pi(C, C)=(8,8), \quad \pi(D, C)=(12,3), \quad \pi(C, D)=(3,12), \quad \pi(D, D)=(4,4)
As firmas descontam o futuro com fator \delta \in(0,1) e adotam a estratégia grim trigger: cooperam enquanto a outra cooperar; se observarem desvio, jogam D para sempre.
(a) Explique por que este jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais.
(b) Derive a condição, em termos de \delta, para que a cooperação seja sustentável em equilíbrio perfeito em subjogos.

Passo 1

O enunciado dá um jogo repetido entre duas firmas com ações C (cooperar = manter preço) e D (desviar = reduzir preço). Os payoffs de uma rodada são:
\pi(C,C)=(8,8),\quad \pi(D,C)=(12,3),\quad \pi(C,D)=(3,12),\quad \pi(D,D)=(4,4).
As firmas repetem o jogo indefinidamente e descontam o futuro com fator \delta\in(0,1). A estratégia considerada é grim trigger: cada firma joga C enquanto a outra nunca tenha desviado; se alguma vez observar D do oponente, então joga D para sempre depois.
As perguntas que o enunciado faz:
(a) explicar por que esse jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais;
(b) derivar, em termos de \delta, a condição para que a cooperação (jogar C sempre) seja sustentável como equilíbrio perfeito em subjogos sob a estratégia grim trigger.

Passo 2

Entender o jogo de uma rodada (stage game) e a tensão entre incentivo individual e bem coletivo.
  • Olhando as payoffs de uma rodada, compare as ordens:
    • Tentação de desviar quando o outro coopera: \pi(D,C)=12.
    • Recompensa mútua por cooperar: \pi(C,C)=8.
    • Recompensa por ambos desviarem: \pi(D,D)=4.
    • “Sucker” ao cooperar enquanto o outro desvia: \pi(C,D)=3.
Note que
12>8>4>3,
ou seja, a ordem é T>R>P>S (Tentação, Recompensa, Pena, Sucker). Essa é exatamente a estrutura do dilema do prisioneiro: para cada jogador, independentemente do que o outro faça, escolher D dá maior payoff imediado (verificação abaixo). Assim, no jogo de uma rodada D domina estritamente C, e o único equilíbrio do stage game é (D,D) com payoff (4,4), que é pior para ambos do que a cooperação mútua (8,8).
Isso cria o dilema típico de cartel: as firmas prefeririam, em conjunto, manter preços elevados (cooperar) e obter payoff maior (8,8) repetidamente, mas individualmente têm incentivo a cortar preço (desviar) para ganhar mais no curto prazo ( 12 vs 8). Em mercado industrial isto traduz o conflito entre lucro conjunto do cartel e incentivo individual de cada empresa de ganhar participação de mercado reduzindo preço.

Passo 3

Explicar a estratégia grim trigger e por que verificamos incentivos à deviância.
  • Grim trigger: cada firma começa jogando C. Se em alguma rodada uma firma observa que a outra jogou D, então a partir da próxima rodada joga D para sempre (punição severa e permanente).
Para verificar se a estratégia grim sustenta cooperação como equilíbrio perfeito em subjogos, usamos o princípio do desvio de uma jogada: em qualquer história em que a estratégia prescreve cooperar (isto é, antes de qualquer desvio), um jogador pondera se vale a pena desviar na rodada atual e aceitar a punição depois. Se nenhum desvio único é lucrativo, então não há incentivo de desviar naquela subgame, e, somando para todas as subgames, a estratégia pode ser um equilíbrio perfeito em subjogos.

Passo 4

Calcular o valor presente de cooperar para sempre versus desviar uma vez e sofrer punição eterna.
  • Se um jogador coopera sempre e o outro também, o fluxo de payoffs (por jogador) é 8,8,8,\dots. O valor presente descontado (com fator \delta por período) é a soma geométrica
\text{VP}_{\text{coop}}=\sum_{t=0}^{\infty}\delta^{t}\cdot 8 = \frac{8}{1-\delta}.
Breve justificativa da fórmula da soma geométrica: \sum_{t=0}^\infty \delta^t = 1/(1-\delta) para |\delta|<1; multiplicando por 8 dá o resultado.
  • Se um jogador desvia na rodada atual enquanto o outro coopera, obtém payoff imediato 12 nesta rodada. A partir da próxima rodada, devido ao grim trigger, ambos jogam D para sempre, então a partir de t=1 o fluxo é 4,4,4,\dots. Assim o valor presente de desviar uma vez é
\text{VP}_{\text{desvio}} = 12 + \sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t}\cdot 4 = 12 + \delta\cdot\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s}\cdot 4 = 12 + \delta\cdot\frac{4}{1-\delta}.
(Aqui substituímos s=t-1 para escrever a soma geométrica padrão.)

Passo 5

Impor a condição de não desvio e resolver para \delta.
Para que a cooperação seja lucrativa no ponto onde se considera desviar, precisamos que cooperar sempre renda pelo menos tanto quanto desviar agora e sofrer punição depois:
\frac{8}{1-\delta} \ge 12 + \delta\cdot\frac{4}{1-\delta}.
Multiplicando ambos os lados por 1-\delta>0 (já que \delta\in(0,1)):
8 \ge 12(1-\delta) + 4\delta.
Desenvolvendo o lado direito:
8 \ge 12 -12\delta + 4\delta = 12 -8\delta.
Passando termos:
8\delta \ge 12-8 = 4.
Logo
\delta \ge \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
Portanto, se \delta \ge \tfrac{1}{2}, um desvio único não é lucrativo e a cooperação pode ser mantida com a estratégia grim.

Passo 6

Verificar condições necessárias à perfeição em subjogos e interpretação econômica.
  • Para que a estratégia seja um equilíbrio perfeito em subjogos, é preciso checar todos os subgames. Há dois tipos de subgames aqui: (i) subgames onde ainda não houve desvio (onde a estratégia prescreve continuar cooperando) e (ii) subgames após um desvio (onde a estratégia prescreve punir jogando D para sempre).
  • No caso (i) já verificamos: a condição \delta\ge\tfrac{1}{2} garante que, dado que o oponente seguirá grim, não vale a pena desviar hoje.
  • No caso (ii), após um desvio a estratégia exige jogar D para sempre. Isso é consistente porque, no stage game, D domina C: dado que o oponente joga D, melhor responder com D (porque 4>3). Assim a punição é credível: a sequência infinita de D é um equilíbrio do subgame continuado. Portanto não há problema de credibilidade — a punição é um equilíbrio do jogo futuro.
  • Conclusão: a estratégia grim trigger sustenta cooperação como equilíbrio perfeito em subjogos se e somente se
\delta \ge \tfrac{1}{2}.
Intuição econômica: \delta mede quanto as firmas valorizam o futuro. Se \delta é suficientemente grande (empresas pacientes), o custo de perder os lucros futuros por causa de uma punição permanente supera a vantagem imediata de desviar. Para \delta pequeno (empresas impacientes), a tentação imediata de lucrar mais com corte de preço vence, e o cartel não se sustenta.

Resposta

(a) O jogo tem a estrutura do dilema do prisioneiro/cartel porque 12>8>4>3: individualmente cada firma tem incentivo dominante a jogar D (desviar) e o único equilíbrio do stage game é (D,D) com payoff (4,4), que é pior para ambas do que a cooperação mútua (8,8). Isso traduz o conflito típico entre lucro conjunto do cartel (manter preço) e incentivo individual de reduzir preço para ganhar mercado.
(b) A cooperação sustentada por grim trigger é um equilíbrio perfeito em subjogos se, e somente se, \displaystyle \delta \ge \tfrac{1}{2}.

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