Duas fabricantes de cimento no Distrito Federal competem repetidamente em preço. A cada rodada, cada firma pode:
Os payoffs de uma única rodada são:
As firmas descontam o futuro com fator
e adotam a estratégia grim trigger: cooperam enquanto a outra cooperar; se observarem desvio, jogam
para sempre.
(a) Explique por que este jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais.
(b) Derive a condição, em termos de
, para que a cooperação seja sustentável em equilíbrio perfeito em subjogos.
(a) Explique por que este jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais.
(b) Derive a condição, em termos de
Passo 1
O enunciado dá um jogo repetido entre duas firmas com ações
(cooperar = manter preço) e
(desviar = reduzir preço). Os payoffs de uma rodada são:
As firmas repetem o jogo indefinidamente e descontam o futuro com fator
. A estratégia considerada é grim trigger: cada firma joga
enquanto a outra nunca tenha desviado; se alguma vez observar
do oponente, então joga
para sempre depois.
As perguntas que o enunciado faz:
(a) explicar por que esse jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais;
(b) derivar, em termos de , a condição para que a cooperação (jogar
sempre) seja sustentável como equilíbrio perfeito em subjogos sob a estratégia grim trigger.
(a) explicar por que esse jogo representa o problema clássico de cartel em mercados industriais;
(b) derivar, em termos de
Passo 2
Entender o jogo de uma rodada (stage game) e a tensão entre incentivo individual e bem coletivo.
- Olhando as payoffs de uma rodada, compare as ordens:
- Tentação de desviar quando o outro coopera:
. - Recompensa mútua por cooperar:
. - Recompensa por ambos desviarem:
. - “Sucker” ao cooperar enquanto o outro desvia:
.
- Tentação de desviar quando o outro coopera:
Note que
ou seja, a ordem é
(Tentação, Recompensa, Pena, Sucker). Essa é exatamente a estrutura do dilema do prisioneiro: para cada jogador, independentemente do que o outro faça, escolher
dá maior payoff imediado (verificação abaixo). Assim, no jogo de uma rodada
domina estritamente
, e o único equilíbrio do stage game é
com payoff
, que é pior para ambos do que a cooperação mútua
.
Isso cria o dilema típico de cartel: as firmas prefeririam, em conjunto, manter preços elevados (cooperar) e obter payoff maior
repetidamente, mas individualmente têm incentivo a cortar preço (desviar) para ganhar mais no curto prazo (
vs
). Em mercado industrial isto traduz o conflito entre lucro conjunto do cartel e incentivo individual de cada empresa de ganhar participação de mercado reduzindo preço.
Passo 3
Explicar a estratégia grim trigger e por que verificamos incentivos à deviância.
- Grim trigger: cada firma começa jogando
. Se em alguma rodada uma firma observa que a outra jogou , então a partir da próxima rodada joga para sempre (punição severa e permanente).
Para verificar se a estratégia grim sustenta cooperação como equilíbrio perfeito em subjogos, usamos o princípio do desvio de uma jogada: em qualquer história em que a estratégia prescreve cooperar (isto é, antes de qualquer desvio), um jogador pondera se vale a pena desviar na rodada atual e aceitar a punição depois. Se nenhum desvio único é lucrativo, então não há incentivo de desviar naquela subgame, e, somando para todas as subgames, a estratégia pode ser um equilíbrio perfeito em subjogos.
Passo 4
Calcular o valor presente de cooperar para sempre versus desviar uma vez e sofrer punição eterna.
- Se um jogador coopera sempre e o outro também, o fluxo de payoffs (por jogador) é
. O valor presente descontado (com fator por período) é a soma geométrica
Breve justificativa da fórmula da soma geométrica:
para
; multiplicando por
dá o resultado.
- Se um jogador desvia na rodada atual enquanto o outro coopera, obtém payoff imediato
nesta rodada. A partir da próxima rodada, devido ao grim trigger, ambos jogam para sempre, então a partir de o fluxo é . Assim o valor presente de desviar uma vez é
(Aqui substituímos
para escrever a soma geométrica padrão.)
Passo 5
Impor a condição de não desvio e resolver para
.
Para que a cooperação seja lucrativa no ponto onde se considera desviar, precisamos que cooperar sempre renda pelo menos tanto quanto desviar agora e sofrer punição depois:
Multiplicando ambos os lados por
(já que
):
Desenvolvendo o lado direito:
Passando termos:
Logo
Portanto, se
, um desvio único não é lucrativo e a cooperação pode ser mantida com a estratégia grim.
Passo 6
Verificar condições necessárias à perfeição em subjogos e interpretação econômica.
-
Para que a estratégia seja um equilíbrio perfeito em subjogos, é preciso checar todos os subgames. Há dois tipos de subgames aqui: (i) subgames onde ainda não houve desvio (onde a estratégia prescreve continuar cooperando) e (ii) subgames após um desvio (onde a estratégia prescreve punir jogando
para sempre). -
No caso (i) já verificamos: a condição
garante que, dado que o oponente seguirá grim, não vale a pena desviar hoje. -
No caso (ii), após um desvio a estratégia exige jogar
para sempre. Isso é consistente porque, no stage game, domina : dado que o oponente joga , melhor responder com (porque ). Assim a punição é credível: a sequência infinita de é um equilíbrio do subgame continuado. Portanto não há problema de credibilidade — a punição é um equilíbrio do jogo futuro. -
Conclusão: a estratégia grim trigger sustenta cooperação como equilíbrio perfeito em subjogos se e somente se
Intuição econômica:
mede quanto as firmas valorizam o futuro. Se
é suficientemente grande (empresas pacientes), o custo de perder os lucros futuros por causa de uma punição permanente supera a vantagem imediata de desviar. Para
pequeno (empresas impacientes), a tentação imediata de lucrar mais com corte de preço vence, e o cartel não se sustenta.
Resposta
(a) O jogo tem a estrutura do dilema do prisioneiro/cartel porque
: individualmente cada firma tem incentivo dominante a jogar
(desviar) e o único equilíbrio do stage game é
com payoff
, que é pior para ambas do que a cooperação mútua
. Isso traduz o conflito típico entre lucro conjunto do cartel (manter preço) e incentivo individual de reduzir preço para ganhar mercado.
(b) A cooperação sustentada por grim trigger é um equilíbrio perfeito em subjogos se, e somente se, .
(b) A cooperação sustentada por grim trigger é um equilíbrio perfeito em subjogos se, e somente se,