Uma construtora participante de um edital de manutenção predial possui custo privado \theta \in[10,30], distribuído uniformemente. A firma reporta um custo \hat{\theta} ao regulador, que oferece um contrato da forma
t(\hat{\theta}), \quad q(\hat{\theta})
onde t é o pagamento total e q é o nível exigido de serviço. O custo real é
C(q, \theta)=\theta q
O objetivo do regulador é maximizar o bem-estar social:
W=v q(\hat{\theta})-t(\hat{\theta}), \quad v=50
sujeito a:
  • IC: Incentive Compatibility:
t(\theta)-\theta q(\theta) \geq t(\hat{\theta})-\theta q(\hat{\theta}), \quad \forall \theta, \hat{\theta}
  • IR: Individual Rationality:
t(\theta)-\theta q(\theta) \geq 0 .
(a) Escreva o programa completo do regulador (mecanismo direto).
(b) Utilize o lema de revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolva para q(\theta) e t(\theta) que maximizam W sujeito a IC e IR.

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (colhidos do enunciado):
  • Tipo privado da firma: \theta\in[10,30], com distribuição uniforme. Logo a densidade é f(\theta)=\dfrac{1}{20} e a função de distribuição é F(\theta)=\dfrac{\theta-10}{20}.
  • A firma reporta \hat{\theta}. O regulador oferece um contrato direto t(\hat{\theta}),\; q(\hat{\theta}).
  • Custo real da firma: \;C(q,\theta)=\theta q.
  • Bem-estar social (do regulador): W=v q(\hat{\theta})-t(\hat{\theta}) com v=50.
  • Restrições do problema: Incentive Compatibility (IC) t(\theta)-\theta q(\theta)\ge t(\hat{\theta})-\theta q(\hat{\theta}),\quad\forall\theta,\hat{\theta},e Individual Rationality (IR) t(\theta)-\theta q(\theta)\ge 0,\quad\forall\theta.
O que é pedido:
(a) Escrever o programa completo do regulador (mecanismo direto).
(b) Usar o lema da revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolver para q(\theta) e t(\theta) que maximizam W sujeito a IC e IR.
Observação prática necessária (assunção): se não houver limite superior para q a função-objetivo torna-se não restrita (com custo linear e valor fixo por unidade, sem limite a solução poderia ser infinita). É comum nestes problemas normalizar o nível de serviço para q\in[0,1] (serviço “ligado/desligado” ou um nível máximo normalizado). Vou adotar a hipótese natural e padrão: \;0\le q(\theta)\le1 para todo \theta. Se o enunciado implícito tiver outro limite, o raciocínio é análogo (troca o “1” pelo limite máximo).

Passo 2

Programa completo do regulador (mecanismo direto), em termos das funções q(\cdot) e t(\cdot), escrito como problema de maximização de expectativa:
\begin{aligned} &\max_{q(\cdot),\,t(\cdot)}\; \mathbb{E}_\theta\big[\,v\,q(\theta)-t(\theta)\,\big] \\\ &\text{s.a.}\quad t(\theta)-\theta q(\theta)\ge t(\hat{\theta})-\theta q(\hat{\theta}),\quad\forall\theta,\hat{\theta} \quad(\text{IC})\\\ &\qquad\quad t(\theta)-\theta q(\theta)\ge 0,\quad\forall\theta \quad(\text{IR})\\\ &\qquad\quad 0\le q(\theta)\le 1,\quad\forall\theta. \end{aligned}
Aqui \mathbb{E}_\theta é a esperança em relação à distribuição uniforme em [10,30].

Passo 3

Aplicando o lema da revelação (restrição a mecanismos diretos e incentive-compatible), definimos a utilidade do agente (firma) de tipo \theta quando reporta honestamente:
u(\theta):=t(\theta)-\theta q(\theta).
A condição IC global implica, sob diferenciação (assumindo diferenciabilidade e mecanismos suaves), a condição local:
u'(\theta) = -q(\theta).
Explicação didática: pense em u(\theta) como a função-ganho da firma ao revelar \theta. Se a firma aumenta levemente seu tipo verdadeiro (tornar-se um tipo com custo um pouco maior), a perda marginal de utilidade vem do aumento do custo efetivo \theta q(\theta), por isso a derivada é -q(\theta). Essa é a equação de envelope clássica — ela vem da condição de primeira ordem das restrições de não desvio local (ou da identidade entre derivadas à esquerda/direita por IC).
Monotonicidade: da equação u'(\theta)=-q(\theta) e como u(\theta) deve ser concisa (utilidade típica decrescente com \theta), obtemos que
q(\theta)\\ \text{deve ser não-increasing (não-increasing) em }\theta.ãã
Explicando: se existisse \theta_1<\theta_2 com q(\theta_1)<q(\theta_2), então u'(\theta) mudaria de forma a violar a IC (um tipo com custo maior teria incentivo para se passar por tipo menor). Portanto, IC implica monotonicidade decrescente de q.
Além disso, integrando a equação de envelope entre \theta e o topo do intervalo \theta_H=30, e usando a IR que tipicamente é mais restritiva no tipo mais alto (ver explicação no próximo passo), temos
u(\theta)=u(30)-\int_{\theta}^{30} q(s)\,ds.
Convenientemente, o regulador, que quer minimizar pagamentos, vai escolher u(30)=0 (colocar IR vinculado no tipo mais alto), então
\boxed{u(\theta)=\int_{\theta}^{30} q(s)\,ds.}
Isso é a equação de envelope integrada: ela diz quanto “renda informacional” a firma recebe em função do perfil q(\cdot).

Passo 4

Por que escolher u(30)=0? Explicação: u(\theta) é não-negativa por IR. A função u(\theta) é não-increasing (porque q\ge0), logo o menor valor de u ocorre em \theta=30. Se u(30) fosse estritamente positivo, o regulador poderia reduzir todos os pagamentos t(\theta) mantendo q(\cdot) (subtrair uma constante de t que preserva IC e IR até que u(30)=0), aumentando o bem-estar. Assim, a otimização faz com que IR seja vinculante no tipo mais alto: u(30)=0.
Agora substituímos t(\theta)=u(\theta)+\theta q(\theta) na função-objetivo esperada:
\mathbb{E}[W]=\int_{10}^{30} \big(v q(\theta)-t(\theta)\big) f(\theta)\,d\theta = \int_{10}^{30} \big(v q(\theta)-u(\theta)-\theta q(\theta)\big) f(\theta)\,d\theta.
Usando u(\theta)=\int_{\theta}^{30} q(s)\,ds e trocando a ordem de integração (Fubini) para a parte que contém u, obtemos (passo a passo):
\begin{aligned} \mathbb{E}[W] &= \int_{10}^{30} f(\theta)\big((v-\theta)q(\theta)\big)\,d\theta \;-\; \int_{10}^{30} f(\theta)\left(\int_{\theta}^{30} q(s)\,ds\right)d\theta\\[4pt] &= \int_{10}^{30} f(\theta)(v-\theta)q(\theta)\,d\theta \;-\; \int_{10}^{30} q(s)\left(\int_{10}^{s} f(\theta)\,d\theta\right)ds\\[4pt] &= \int_{10}^{30} q(\theta)\Big( f(\theta)(v-\theta) - F(\theta)\Big)\,d\theta. \end{aligned}
Agora substituímos f(\theta)=\dfrac{1}{20} e F(\theta)=\dfrac{\theta-10}{20} (uniforme), e com v=50:
\begin{aligned} f(\theta)(v-\theta)-F(\theta) &= \frac{1}{20}(50-\theta) - \frac{\theta-10}{20} \\\ &= \frac{50-\theta -\theta +10}{20} \\\ &= \frac{60-2\theta}{20} = \frac{30-\theta}{10}. \end{aligned}
Denote essa função por
g(\theta):=\frac{30-\theta}{10}.]

Passo 5

Interpretação e escolha ótima de q(\theta):
  • O problema reduz-se a escolher q(\theta)\in[0,1] para maximizar \int_{10}^{30} q(\theta)\,g(\theta)\,d\theta,sujeito a q(\theta) não-increasing (monotonicidade).
  • Observação: g(\theta)=\dfrac{30-\theta}{10}>0 para todo \theta\in[10,30), e g(30)=0. Logo o integrando é estritamente positivo (exceto no ponto final).
  • Dado que g(\theta) é positivo em todo o intervalo exceto na borda, a forma ótima (sob a restrição 0\le q\le1 e monotonicidade) é escolher o valor máximo admissional de q para todos os tipos: isto é, \boxed{q(\theta)=1\quad\text{para todo }\theta\in[10,30].}(Escolher q=1 para todo \theta é compatível com monotonicidade — é uma função constante — e maximiza integrando g(\theta)>0.)

Passo 6

Encontrar t(\theta) a partir de q(\theta) e da equação de envelope/incentivo.
Com q(\theta)=1 para todo \theta, a equação de envelope dá
u(\theta)=\int_{\theta}^{30} 1 \, ds = 30-\theta.
Então
t(\theta)=u(\theta)+\theta q(\theta) = (30-\theta)+\theta\cdot1 = 30.
Portanto o pagamento total é constante:
\boxed{t(\theta)=30\quad\text{para todo }\theta\in[10,30].}
Checagens rápidas:
  • IC: u'(\theta)=-q(\theta)=-1 (coerente) e q é não-increasing (constante), logo IC satisfeito.
  • IR: u(\theta)=30-\theta\ge0 para \theta\in[10,30], com igualdade no topo \theta=30; logo IR satisfeito e o vínculo u(30)=0 foi usado.
  • Incentivo a mentir: por construção da equação de envelope e monotonicidade, não há desvio benéfico.

Passo 7

Interpretação econômica curta (para te animar): o regulador, ao maximizar o bem-estar social e podendo contornar informação privilegiada com transferências, exige o nível máximo de serviço q=1 de todas as firmas (porque o valor social marginal v-\theta é positivo para todas as \theta\le 30 — e efetivamente o cálculo do termo virtual g(\theta) confirma que vale a pena), e paga um pagamento fixo t=30 para todas as firmas. Esse pagamento é exatamente o que torna a firma indiferente no topo do intervalo (tipo mais caro) e deixa uma renda informacional decrescente para tipos mais baixos (o tipo \theta recebe renda 30-\theta).

Resposta

(a) \displaystyle \max_{q(\cdot),\,t(\cdot)}\; \mathbb{E}_\theta\big[\,v q(\theta)-t(\theta)\,\big] sujeito a \;t(\theta)-\theta q(\theta)\ge t(\hat{\theta})-\theta q(\hat{\theta})\;\forall\theta,\hat{\theta} (IC), \;t(\theta)-\theta q(\theta)\ge0\;\forall\theta (IR), e \;0\le q(\theta)\le1\;\forall\theta.
(b) IC implica, sob diferenciação, a equação de envelope \;u'(\theta)=-q(\theta) com u(\theta)=t(\theta)-\theta q(\theta), e monotonicidade \;q(\theta) não-increasing. Integrando com u(30)=0 obtém-se \;u(\theta)=\int_{\theta}^{30} q(s)\,ds.
(c) Solução ótima: \displaystyle q(\theta)=1 para todo \theta\in[10,30] e \displaystyle t(\theta)=30 para todo \theta\in[10,30].

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