Uma construtora participante de um edital de manutenção predial possui custo privado
, distribuído uniformemente. A firma reporta um custo
ao regulador, que oferece um contrato da forma
onde
é o pagamento total e
é o nível exigido de serviço. O custo real é
O objetivo do regulador é maximizar o bem-estar social:
sujeito a:
- IC: Incentive Compatibility:
- IR: Individual Rationality:
(a) Escreva o programa completo do regulador (mecanismo direto).
(b) Utilize o lema de revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolva para
e
que maximizam
sujeito a IC e IR.
(b) Utilize o lema de revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolva para
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (colhidos do enunciado):
- Tipo privado da firma:
, com distribuição uniforme. Logo a densidade é e a função de distribuição é . - A firma reporta
. O regulador oferece um contrato direto . - Custo real da firma:
. - Bem-estar social (do regulador):
com . - Restrições do problema: Incentive Compatibility (IC)
e Individual Rationality (IR)
O que é pedido:
(a) Escrever o programa completo do regulador (mecanismo direto).
(b) Usar o lema da revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolver para e
que maximizam
sujeito a IC e IR.
(a) Escrever o programa completo do regulador (mecanismo direto).
(b) Usar o lema da revelação para derivar a condição de IC (monotonicidade e equação de envelope).
(c) Resolver para
Observação prática necessária (assunção): se não houver limite superior para
a função-objetivo torna-se não restrita (com custo linear e valor fixo por unidade, sem limite a solução poderia ser infinita). É comum nestes problemas normalizar o nível de serviço para
(serviço “ligado/desligado” ou um nível máximo normalizado). Vou adotar a hipótese natural e padrão:
para todo
. Se o enunciado implícito tiver outro limite, o raciocínio é análogo (troca o “1” pelo limite máximo).
Passo 2
Programa completo do regulador (mecanismo direto), em termos das funções
e
, escrito como problema de maximização de expectativa:
Aqui
é a esperança em relação à distribuição uniforme em
.
Passo 3
Aplicando o lema da revelação (restrição a mecanismos diretos e incentive-compatible), definimos a utilidade do agente (firma) de tipo
quando reporta honestamente:
A condição IC global implica, sob diferenciação (assumindo diferenciabilidade e mecanismos suaves), a condição local:
Explicação didática: pense em
como a função-ganho da firma ao revelar
. Se a firma aumenta levemente seu tipo verdadeiro (tornar-se um tipo com custo um pouco maior), a perda marginal de utilidade vem do aumento do custo efetivo
, por isso a derivada é
. Essa é a equação de envelope clássica — ela vem da condição de primeira ordem das restrições de não desvio local (ou da identidade entre derivadas à esquerda/direita por IC).
Monotonicidade: da equação
e como
deve ser concisa (utilidade típica decrescente com
), obtemos que
Explicando: se existisse
com
, então
mudaria de forma a violar a IC (um tipo com custo maior teria incentivo para se passar por tipo menor). Portanto, IC implica monotonicidade decrescente de
.
Além disso, integrando a equação de envelope entre
e o topo do intervalo
, e usando a IR que tipicamente é mais restritiva no tipo mais alto (ver explicação no próximo passo), temos
Convenientemente, o regulador, que quer minimizar pagamentos, vai escolher
(colocar IR vinculado no tipo mais alto), então
Isso é a equação de envelope integrada: ela diz quanto “renda informacional” a firma recebe em função do perfil
.
Passo 4
Por que escolher
? Explicação:
é não-negativa por IR. A função
é não-increasing (porque
), logo o menor valor de
ocorre em
. Se
fosse estritamente positivo, o regulador poderia reduzir todos os pagamentos
mantendo
(subtrair uma constante de
que preserva IC e IR até que
), aumentando o bem-estar. Assim, a otimização faz com que IR seja vinculante no tipo mais alto:
.
Agora substituímos
na função-objetivo esperada:
Usando
e trocando a ordem de integração (Fubini) para a parte que contém
, obtemos (passo a passo):
Agora substituímos
e
(uniforme), e com
:
Denote essa função por
Passo 5
Interpretação e escolha ótima de
:
- O problema reduz-se a escolher
para maximizar sujeito a não-increasing (monotonicidade). - Observação:
para todo , e . Logo o integrando é estritamente positivo (exceto no ponto final). - Dado que
é positivo em todo o intervalo exceto na borda, a forma ótima (sob a restrição e monotonicidade) é escolher o valor máximo admissional de para todos os tipos: isto é, (Escolher para todo é compatível com monotonicidade — é uma função constante — e maximiza integrando .)
Passo 6
Encontrar
a partir de
e da equação de envelope/incentivo.
Com para todo
, a equação de envelope dá
Com
Então
Portanto o pagamento total é constante:
Checagens rápidas:
- IC:
(coerente) e é não-increasing (constante), logo IC satisfeito. - IR:
para , com igualdade no topo ; logo IR satisfeito e o vínculo foi usado. - Incentivo a mentir: por construção da equação de envelope e monotonicidade, não há desvio benéfico.
Passo 7
Interpretação econômica curta (para te animar): o regulador, ao maximizar o bem-estar social e podendo contornar informação privilegiada com transferências, exige o nível máximo de serviço
de todas as firmas (porque o valor social marginal
é positivo para todas as
— e efetivamente o cálculo do termo virtual
confirma que vale a pena), e paga um pagamento fixo
para todas as firmas. Esse pagamento é exatamente o que torna a firma indiferente no topo do intervalo (tipo mais caro) e deixa uma renda informacional decrescente para tipos mais baixos (o tipo
recebe renda
).
Resposta
(a)
sujeito a
(IC),
(IR), e
(b) IC implica, sob diferenciação, a equação de envelope
com
, e monotonicidade
não-increasing. Integrando com
obtém-se
(c) Solução ótima:
para todo
e
para todo
.