Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}
converge ou diverge, usando o teste da comparação. Vamos comparar com uma série geométrica de razão menor que 1.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, temos
2^{n}+5^{n}\ge 5^{n}.
Logo
\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}\le \frac{3^{n}}{5^{n}} =\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

A série geométrica
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}
converge, pois sua razão r=\tfrac{3}{5} satisfaz \lvert r\rvert<1. De fato,
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}} =\frac{3/5}{2/5} =\frac{3}{2}<\infty.

Passo 4

Pela comparação direta, como \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}\le (3/5)^{n}
e \sum(3/5)^{n} converge, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados