Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação de séries de termos positivos.

Passo 2

Para n\ge1 temos 3n+4\ge3n. Além disso, como 3n\le3n^{2} e 5\le5n^{2}, segue que
2n^{2}+3n+5 \le 2n^{2}+3n^{2}+5n^{2}=10n^{2}
Logo,
\frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}\ge \frac{3n}{10n^{2}} =\frac{3}{10}\,\frac{1}{n}

Passo 3

Sabemos que a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Como para todo n \displaystyle\frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}\ge\frac{3}{10}\,\frac{1}{n}
e a série de termos \frac{1}{n} diverge, pelo teste da comparação direta a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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