Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2}+3^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{2}+3^{n}}
converge ou diverge, usando o teste da comparação. Vamos comparar os termos com uma série mais simples cujo comportamento conhecemos bem.

Passo 2

Para n\ge2 temos 3^n\ge9>4, logo
4+3^n \le 3^n + 3^n = 2\cdot 3^n.
Assim, para n\ge2,
\frac{3^n}{4+3^n} \;\ge\; \frac{3^n}{2\cdot 3^n} \;=\; \frac12.

Passo 3

Portanto, a partir de n=2 em diante,
\frac{3^n}{4+3^n}\ge \frac12.
Isso significa que, a partir de certo índice, cada termo da nossa série é pelo menos \tfrac12.

Passo 4

Conhecemos a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac12
que é uma soma infinita de constantes \tfrac12. Essa série diverge (porque seus termos não tendem a zero e somam um valor infinito).

Passo 5

Pelo teste da comparação, se para n grande temos
0\le \frac{3^n}{4+3^n}\;\;\;\text{e}\;\;\;\frac{3^n}{4+3^n}\ge \frac12,
e sabendo que \sum \tfrac12 diverge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{4+3^n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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