Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{n=1}^\infty \frac{3n^2+4}{2n^2+3n+5}
e pede para determinar sua convergência usando o teste da comparação com uma série conhecida.

Passo 2

Para n\ge1 temos
3n^2+4 \;\ge\; 3n^2 \quad\text{e}\quad 2n^2+3n+5 \;\le\; 2n^2 + 3n^2 + 5n^2 = 10n^2.
Logo, o termo geral satisfaz
\frac{3n^2+4}{2n^2+3n+5} \;\ge\; \frac{3n^2}{10n^2} =\frac{3}{10}.

Passo 3

A série \sum_{n=1}^\infty \tfrac{3}{10}
é uma soma infinita de constantes positivas, portanto diverge. Pelo teste da comparação direta, como \frac{3n^2+4}{2n^2+3n+5}\ge\frac{3}{10}
e a série de referência diverge, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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