Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n 3^{n}};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,3^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma série geométrica de razão r=\tfrac13.

Passo 2

Consideramos a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Sabemos que uma série geométrica \sum r^{n} converge se |r|<1. Aqui temos r=\tfrac13, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}
é convergente.

Passo 3

Para todo n\ge1 vale
0<\frac{1}{n\,3^{n}}\le\frac{1}{3^{n}},
pois n\ge1 implica n\,3^{n}\ge3^{n}. Como a série \sum\frac{1}{3^{n}} converge, pelo Teste da Comparação a série original também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,3^{n}} converge.

Exercícios relacionados