Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica
e a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede o volume e as coordenadas do centroide do sólido que fica acima do cone
e abaixo do paraboloide .
O método mais direto é usar coordenadas cilíndricas, pois ambas superfícies dependem apenas de .
e abaixo do paraboloide
O método mais direto é usar coordenadas cilíndricas, pois ambas superfícies dependem apenas de
Passo 2
Determinar a projeção do sólido no plano
. No contorno de interseção vale
A solução positiva é
logo a região de projeção é o disco
Passo 3
Calcular o volume
Fazendo a integral em
:
Usando
(da equação da fronteira), simplifica-se a
Passo 4
Por simetria em
, tem-se
Passo 5
O coeficiente
do centroide é
Integramos primeiro em
:
Portanto
Após calcular essa integral e usar novamente
, chega-se a
Resposta
O volume do sólido é
e o centroide fica em
com
dado acima.