Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica z= \varphi_{2}(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a superfície z=\varphi_{1}(x, y)=2 a-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume e as coordenadas do centroide do sólido que fica acima do cone \displaystyle z=\varphi_{2}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e abaixo do paraboloide \displaystyle z=\varphi_{1}(x,y)=2a - x^{2} - y^{2}.
O método mais direto é usar coordenadas cilíndricas, pois ambas superfícies dependem apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Determinar a projeção do sólido no plano xy. No contorno de interseção vale
r \;=\;\sqrt{x^{2}+y^{2}} \;=\;2a - r^{2} \;\Longrightarrow\; r^{2} + r - 2a = 0.
A solução positiva é
R \;=\;\frac{-1 + \sqrt{1+8a}}{2},
logo a região de projeção é o disco \;0 \le r \le R,\;0 \le \theta < 2\pi.

Passo 3

Calcular o volume
V =\iint_{\text{proj}} \bigl[z_{\mathrm{sup}} - z_{\mathrm{inf}}\bigr]\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\bigl[(2a - r^{2}) - r\bigr]\,r\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em r:
V =2\pi\int_{0}^{R}\bigl(2a\,r - r^{3} - r^{2}\bigr)\,dr =2\pi\Bigl[a\,R^{2} - \tfrac{R^{4}}{4} - \tfrac{R^{3}}{3}\Bigr].
Usando 2a = R^{2}+R (da equação da fronteira), simplifica-se a
V =\pi\,\frac{R^{3}\,\bigl(3R+2\bigr)}{6}.

Passo 4

Por simetria em \theta, tem-se
x_{c}=0, \quad y_{c}=0.

Passo 5

O coeficiente z_{c} do centroide é
z_{c} =\frac{1}{V}\,\iiint_{\mathcal{S}} z\,dV =\frac{1}{V}\, \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\!\int_{r}^{\,2a-r^{2}} z\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{r}^{2a-r^{2}} z\,dz =\tfrac12\Bigl[(2a-r^{2})^{2}-r^{2}\Bigr].
Portanto
z_{c} =\frac{2\pi}{V} \int_{0}^{R} r\;\frac{(2a-r^{2})^{2}-r^{2}}{2}\,dr =\frac{\pi}{V} \int_{0}^{R} \bigl(4a^{2}r - (4a+1)r^{3} + r^{5}\bigr)\,dr.
Após calcular essa integral e usar novamente 2a=R^{2}+R, chega-se a
z_{c} =\frac{2R^{3}+6R^{2}+3R}{2\,(3R+2)} =\frac{R\,(2R^{2}+6R+3)}{2\,(3R+2)}.

Resposta

O volume do sólido é
V =\frac{\pi\,R^{3}\,(3R+2)}{6}, \quad R=\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2},
e o centroide fica em
(x_{c},y_{c},z_{c}) =\Bigl(0,\;0,\; \frac{R\,(2R^{2}+6R+3)}{2\,(3R+2)}\Bigr),
com R dado acima.

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