Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica z= \varphi_{2}(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a superficie z=\varphi_{1}(x, y)=2 a-x^{2}-y^{2}.
\rightarrow a=5

Passo 1

O enunciado pede o volume e o centroide do sólido limitado pelas superfícies \displaystyle z=\varphi_{2}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) e \displaystyle z=\varphi_{1}(x,y)=2a - x^{2}-y^{2} (paraboloide invertido), com a=5.
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de projeção no plano xy fazendo
\sqrt{x^{2}+y^{2}} \;=\; 2a - (x^{2}+y^{2}) \;\Longrightarrow\; r \;=\; 2a - r^{2} \;\Longrightarrow\; r^{2} + r - 2a = 0.
Para a=5 isso dá
r = \frac{-1 + \sqrt{1+40}}{2} = \frac{\sqrt{41}-1}{2} \eqqcolon R.
Logo a projeção é \;0\le r\le R,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

O volume é
V = \iiint_{\mathcal{S}} dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{R}\!\int_{z=r}^{\,2a - r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{R}\bigl[(2a - r^{2}) - r\bigr]\,r\,dr.
Desenvolvendo a integral em r:
\int_{0}^{R}(2a\,r - r^{3} - r^{2})\,dr = \Bigl[a\,r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4} - \tfrac{1}{3}r^{3}\Bigr]_{0}^{R}.
Portanto
V = 2\pi\Bigl[a\,R^{2} - \tfrac{1}{4}R^{4} - \tfrac{1}{3}R^{3}\Bigr].

Passo 4

Substituindo a=5 e R=(\sqrt{41}-1)/2, numericamente obtemos
V \approx 104{,}27.

Passo 5

Por simetria \bar x=\bar y=0. Para \bar z usamos
\bar z = \frac{1}{V}\iiint_{\mathcal{S}} z\,dV = \frac{1}{V}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\!\int_{z=r}^{\,2a - r^{2}} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
A integral em z
\int_{r}^{2a-r^{2}} z\,r\,dz = \frac{r}{2}\bigl[(2a - r^{2})^{2} - r^{2}\bigr],
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\iiint z\,dV = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{R}\!r\bigl[(2a-r^{2})^{2}-r^{2}\bigr]dr = \pi\int_{0}^{R}(100r -21r^{3}+r^{5})\,dr = \pi\Bigl[50r^{2} - \tfrac{21}{4}r^{4} + \tfrac{1}{6}r^{6}\Bigr]_{0}^{R}.

Passo 6

Calculando numericamente com a=5 e o mesmo R, obtemos
\iiint z\,dV \approx 149{,}99\,\pi,
portanto
\bar z = \frac{149{,}99\,\pi}{104{,}27}\approx 4{,}515.

Resposta

Volume V \approx 104{,}27.
Centroide \displaystyle(\bar x,\bar y,\bar z) = (0,\,0,\,4{,}515).

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