Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica
e a superficie
.
Passo 1
O enunciado pede o volume e o centroide do sólido limitado pelas superfícies
(cone) e
(paraboloide invertido), com
.
Vamos usar coordenadas cilíndricas , onde
,
, e
.
Vamos usar coordenadas cilíndricas
Passo 2
Primeiro identificamos a região de projeção no plano
fazendo
Para
isso dá
Logo a projeção é
.
Passo 3
O volume é
Desenvolvendo a integral em
:
Portanto
Passo 4
Substituindo
e
, numericamente obtemos
Passo 5
Por simetria
. Para
usamos
A integral em
dá
logo
Passo 6
Calculando numericamente com
e o mesmo
, obtemos
portanto
Resposta
Volume
.
Centroide .
Centroide