Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
converge ou diverge. Informações importantes que o enunciado dá: \ln 1 = 0 então o primeiro termo é 0, para n\ge2 temos termos não-negativos, e a sequência de termos é \frac{\ln n}{n} para n=1,2,3,\dots. A questão indica explicitamente usar o teste da comparação.

Passo 2

Vou explicar o teste da comparação (versão usada aqui) de forma clara: se a_n e b_n são sequências com 0\le b_n\le a_n para todo n suficientemente grande, então
  • se \sum b_n diverge, também diverge \sum a_n;
  • se \sum a_n converge e 0\le a_n\le b_n, então \sum b_n converge.
    O ponto prático é: podemos comparar os termos da série que queremos estudar com os termos de uma série conhecida (que converge ou diverge). Só precisamos que a desigualdade ocorra a partir de algum N (os termos iniciais não importam, pois uma soma finita adicionada ou retirada não altera convergência/divergência do restante).

Passo 3

Escolhemos comparar com a série harmônica \sum \frac{1}{n}, porque é uma série muito conhecida e que diverge. Observação útil sobre \ln n: para n\ge 3 vale
\ln n \ge 1,
pois \ln 3>1 e \ln n é crescente. Portanto, para todo n\ge 3 temos
\frac{\ln n}{n} \ge \frac{1}{n}.

Passo 4

Agora precisamos usar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
diverge. Vou mostrar uma prova simples por agrupamento (muito didática): considere a soma parcial até 2^k:
\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right).
Em cada grupo a partir do segundo, todos os termos são maiores ou iguais ao maior denominador do grupo invertido: por exemplo \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}, \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}, e assim por diante. Cada um dos k grupos (do segundo até o k-ésimo) soma pelo menos \tfrac{1}{2}. Logo
\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \ge 1 + k\cdot\frac{1}{2}.
Como o lado direito cresce sem limite quando k\to\infty, as somas parciais da série harmônica são arbitrariamente grandes, ou seja, a série harmônica diverge.

Passo 5

Voltemos à comparação: para n\ge 3 mostramos que \dfrac{\ln n}{n}\ge \dfrac{1}{n}. Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, a série \sum_{n=3}^{\infty}\dfrac{1}{n} também diverge (retirar os dois primeiros termos não muda a divergência). Aplicando o teste da comparação (com a_n=\dfrac{\ln n}{n} e b_n=\dfrac{1}{n} para n\ge3), concluímos que
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
diverge. Como os termos iniciais n=1,2 são finitos ( \frac{\ln 1}{1}=0 e \frac{\ln 2}{2} é finito), a série total
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
também diverge.

Resposta

Diverge.

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