Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações importantes que o enunciado dá:
então o primeiro termo é
, para
temos termos não-negativos, e a sequência de termos é
para
. A questão indica explicitamente usar o teste da comparação.
Passo 2
Vou explicar o teste da comparação (versão usada aqui) de forma clara: se
e
são sequências com
para todo
suficientemente grande, então
- se
diverge, também diverge ; - se
converge e , então converge.
O ponto prático é: podemos comparar os termos da série que queremos estudar com os termos de uma série conhecida (que converge ou diverge). Só precisamos que a desigualdade ocorra a partir de algum(os termos iniciais não importam, pois uma soma finita adicionada ou retirada não altera convergência/divergência do restante).
Passo 3
Escolhemos comparar com a série harmônica
, porque é uma série muito conhecida e que diverge. Observação útil sobre
: para
vale
pois
e
é crescente. Portanto, para todo
temos
Passo 4
Agora precisamos usar que a série harmônica
diverge. Vou mostrar uma prova simples por agrupamento (muito didática): considere a soma parcial até
:
Em cada grupo a partir do segundo, todos os termos são maiores ou iguais ao maior denominador do grupo invertido: por exemplo
,
, e assim por diante. Cada um dos
grupos (do segundo até o
-ésimo) soma pelo menos
. Logo
Como o lado direito cresce sem limite quando
, as somas parciais da série harmônica são arbitrariamente grandes, ou seja, a série harmônica diverge.
Passo 5
Voltemos à comparação: para
mostramos que
. Como
diverge, a série
também diverge (retirar os dois primeiros termos não muda a divergência). Aplicando o teste da comparação (com
e
para
), concluímos que
diverge. Como os termos iniciais
são finitos (
e
é finito), a série total
também diverge.
Resposta
Diverge.