Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n+4}{2 n^{2}+3 n+5};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n+4}{2 n^{2}+3 n+5};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge (usar o teste da comparação). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \n
- O termo geral da série é
.\n - Estamos somando para
.\n - Para todo
tanto o numerador quanto o denominador são positivos, logo para todo .
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado indica “Teste da Comparação” e os termos são positivos, uma forma natural é comparar
com uma série mais simples cujo comportamento conhecemos. Observação heurística (não é cálculo formal ainda): o numerador tem grau 1 em
e o denominador grau 2, então
deve ter ordem parecida com
quando
é grande. Por isso escolhemos comparar com a série harmônica
. Vou usar o teste da comparação na forma conhecida como Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), que é uma versão prática do teste da comparação.
Passo 3
Enunciado do teste (Teste da Comparação por Limite) e explicação didática:\n
Sejam duas sequências positivas e
. Se o limite
Sejam duas sequências positivas
existe e é um número finito e estritamente positivo (isto é,
), então as duas séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. \n
O que cada símbolo significa:\n
O que cada símbolo significa:\n
-
é o termo da série que queremos testar (aqui ).\n -
é o termo de uma série de comparação escolhida (aqui vamos escolher ).\n -
é o limite do quociente; se for um número positivo e finito, então saber o comportamento de nos dá o comportamento de .\n
Intuição: setende a uma constante positiva, então para grandes os termos e são proporcionais — um não domina o outro — então somando-os dá séries com o mesmo destino (convergente ou divergente).
Passo 4
Aplicando o teste ao nosso caso: tome
Calculamos o limite
Agora fazemos álgebra para simplificar o quociente. Escrevemos o numerador como
. Dividimos numerador e denominador por
para ver o comportamento quando
:
Ao tomar
, as parcelas
,
,
vão para zero, portanto o limite vale
Logo o valor do limite é
, que é um número positivo e finito (ou seja,
), então as hipóteses do Teste da Comparação por Limite estão satisfeitas.
Passo 5
Observação sobre a série escolhida para comparação: sabemos que a série harmônica
diverge. Um argumento clássico rápido para isso (prova por agrupamento) é: \n
\n
em cada grupo a soma é pelo menos :
,
, etc.; assim os somatórios parciais crescem sem limite, logo a série diverge. \n
Pelo Teste da Comparação por Limite (Passo 3 e Passo 4), como , a série dada e a série harmônica têm o mesmo comportamento.
\n
em cada grupo a soma é pelo menos
Pelo Teste da Comparação por Limite (Passo 3 e Passo 4), como
Passo 6
Conclusão final: pela comparação por limite com a série harmônica (que diverge) e pelo valor
, a série original tem o mesmo comportamento da harmônica. A série diverge.
Resposta
A série diverge.