Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}
converge ou diverge (usar o teste da comparação). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \n
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}.\n
  • Estamos somando para n=1,2,3,\dots.\n
  • Para todo n\ge 1 tanto o numerador 3n+4 quanto o denominador 2n^{2}+3n+5 são positivos, logo a_n>0 para todo n\ge1.

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado indica “Teste da Comparação” e os termos são positivos, uma forma natural é comparar a_n com uma série mais simples cujo comportamento conhecemos. Observação heurística (não é cálculo formal ainda): o numerador tem grau 1 em n e o denominador grau 2, então a_n deve ter ordem parecida com 1/n quando n é grande. Por isso escolhemos comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. Vou usar o teste da comparação na forma conhecida como Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), que é uma versão prática do teste da comparação.

Passo 3

Enunciado do teste (Teste da Comparação por Limite) e explicação didática:\n
Sejam duas sequências positivas a_n>0 e b_n>0. Se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e é um número finito e estritamente positivo (isto é, 0<L<+\infty), então as duas séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. \n
O que cada símbolo significa:\n
  • a_n é o termo da série que queremos testar (aqui a_n=\dfrac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}).\n
  • b_n é o termo de uma série de comparação escolhida (aqui vamos escolher b_n=\dfrac{1}{n}).\n
  • L é o limite do quociente; se L for um número positivo e finito, então saber o comportamento de \sum b_n nos dá o comportamento de \sum a_n.\n
    Intuição: se a_n/b_n tende a uma constante positiva, então para grandes n os termos a_n e b_n são proporcionais — um não domina o outro — então somando-os dá séries com o mesmo destino (convergente ou divergente).

Passo 4

Aplicando o teste ao nosso caso: tome
a_n=\frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}\quad\text{e}\quad b_n=\frac{1}{n}.
Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(3n+4)}{2n^{2}+3n+5}.
Agora fazemos álgebra para simplificar o quociente. Escrevemos o numerador como 3n^{2}+4n. Dividimos numerador e denominador por n^{2} para ver o comportamento quando n\to\infty:
\frac{3n^{2}+4n}{2n^{2}+3n+5} =\frac{3+\dfrac{4}{n}}{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}.
Ao tomar n\to\infty, as parcelas \dfrac{4}{n}, \dfrac{3}{n}, \dfrac{5}{n^{2}} vão para zero, portanto o limite vale
\lim_{n\to\infty}\frac{3+\dfrac{4}{n}}{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}=\frac{3}{2}.
Logo o valor do limite é L=\dfrac{3}{2}, que é um número positivo e finito (ou seja, 0<L<+\infty), então as hipóteses do Teste da Comparação por Limite estão satisfeitas.

Passo 5

Observação sobre a série escolhida para comparação: sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Um argumento clássico rápido para isso (prova por agrupamento) é: \n
\displaystyle 1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\cdots+\frac18\right)+\left(\frac19+\cdots+\frac{16}\right)+\cdots\n
em cada grupo a soma é pelo menos \dfrac12: \frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12, \frac15+\cdots+\frac18>4\cdot\frac18=\frac12, etc.; assim os somatórios parciais crescem sem limite, logo a série diverge. \n
Pelo Teste da Comparação por Limite (Passo 3 e Passo 4), como L=\dfrac{3}{2}\in(0,+\infty), a série dada e a série harmônica têm o mesmo comportamento.

Passo 6

Conclusão final: pela comparação por limite com a série harmônica (que diverge) e pelo valor L=\dfrac{3}{2}, a série original tem o mesmo comportamento da harmônica. A série diverge.

Resposta

A série diverge.

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