Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A série dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há outras hipóteses ou figuras necessárias. O objetivo é decidir convergência ou divergência dessa série usando comparação (o enunciado já sugeriu “TESTE DA COMPARAÇÃO”).
Passo 2
Vou usar o teste da comparação na forma do teste da comparação limite (limit comparison test). Primeiro explico o teste de forma simples e prática:
- Seja
e duas sequências com e para grande. Se existir
com
(ou seja,
é um número finito e positivo), então as séries
e
convergem ou divergem juntas (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem).
- Motivação curta: se a razão tende a uma constante positiva, então para
grande e têm o mesmo “tamanho assintótico”, então somas têm o mesmo comportamento.
Escolho comparar com a sequência simples
porque para polinômios de mesmo grau o quociente tende a uma constante, e a série
é a série das constantes (cuja divergência é óbvia: somatório de
dá soma parcial
que tende a
).
Passo 3
Calculo o limite necessário. Escrevo a razão
e simplifico dividindo numerador e denominador por
(isso é uma técnica padrão para limites envolvendo polinômios):
Dividindo numerador e denominador por
obtenho (coloco a expressão isolada para ficar claro):
Passo 4
Agora aplico o limite quando
. Como
,
e
, o limite da razão é
Note que
é um número finito e positivo.
Passo 5
Aplicando o teste da comparação limite com
: como
seguem-se as mesmas conclusões de convergência/divergência para
e
. Mas
diverge (pois as somas parciais são
). Portanto
também diverge.
Passo 6
Como observação alternativa (e rápida): o próprio teste do termo geral já dá a divergência sem comparação sofisticada, porque
Se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge. Isso é um teste ainda mais direto e confirma o mesmo resultado obtido pelo teste da comparação limite.
Resposta
A série diverge.