Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
a_n=\frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5}\quad\text{(termo geral da série).}é
Não há outras hipóteses ou figuras necessárias. O objetivo é decidir convergência ou divergência dessa série usando comparação (o enunciado já sugeriu “TESTE DA COMPARAÇÃO”).

Passo 2

Vou usar o teste da comparação na forma do teste da comparação limite (limit comparison test). Primeiro explico o teste de forma simples e prática:
  • Seja a_n e b_n duas sequências com a_n>0 e b_n>0 para n grande. Se existir
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c,
com 0<c<+\infty (ou seja, c é um número finito e positivo), então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem).
  • Motivação curta: se a razão tende a uma constante positiva, então para n grande a_n e b_n têm o mesmo “tamanho assintótico”, então somas têm o mesmo comportamento.
Escolho comparar com a sequência simples
b_n=1,
porque para polinômios de mesmo grau o quociente tende a uma constante, e a série \sum b_n=\sum 1 é a série das constantes (cuja divergência é óbvia: somatório de 1 dá soma parcial N que tende a +\infty).

Passo 3

Calculo o limite necessário. Escrevo a razão \dfrac{a_n}{b_n} e simplifico dividindo numerador e denominador por n^{2} (isso é uma técnica padrão para limites envolvendo polinômios):
\frac{a_n}{b_n}=\frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtenho (coloco a expressão isolada para ficar claro):
\frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5}=\frac{3+\dfrac{4}{n^{2}}}{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}.

Passo 4

Agora aplico o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{4}{n^{2}}\to 0, \dfrac{3}{n}\to 0 e \dfrac{5}{n^{2}}\to 0, o limite da razão é
\lim_{n\to\infty}\frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{3+\dfrac{4}{n^{2}}}{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}} =\frac{3}{2}.
Note que \dfrac{3}{2} é um número finito e positivo.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação limite com b_n=1: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{3}{2}\in(0,+\infty),
seguem-se as mesmas conclusões de convergência/divergência para \sum a_n e \sum b_n. Mas \sum b_n=\sum 1 diverge (pois as somas parciais são S_N=\sum_{n=1}^N 1=N\to+\infty). Portanto \sum a_n também diverge.

Passo 6

Como observação alternativa (e rápida): o próprio teste do termo geral já dá a divergência sem comparação sofisticada, porque
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5}=\frac{3}{2}\neq 0.
Se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge. Isso é um teste ainda mais direto e confirma o mesmo resultado obtido pelo teste da comparação limite.

Resposta

A série diverge.

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