Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}+1};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos associar a série à integral imprópria de uma função que reproduza seus termos.
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos associar a série à integral imprópria de uma função que reproduza seus termos.
Passo 2
Definimos
.
Para aplicar o teste da integral é preciso que, em ,
seja positiva, contínua e decrescente. De fato, para
o denominador
cresce com
, logo
,
é contínua e
, ou seja,
é decrescente.
Para aplicar o teste da integral é preciso que, em
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Como
, temos
que é finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
converge, então a série
converge. Como a integral deu , conclui-se que a série converge.
converge, então a série
converge. Como a integral deu
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.