Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos associar a série à integral imprópria de uma função que reproduza seus termos.

Passo 2

Definimos \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Para aplicar o teste da integral é preciso que, em [1,+\infty), f seja positiva, contínua e decrescente. De fato, para x\ge1 o denominador x^{2}+1 cresce com x, logo f(x)>0, f é contínua e f'(x)=-2x/(x^{2}+1)^{2}<0, ou seja, f é decrescente.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Como \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan(x), temos
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx =\lim_{t\to+\infty}\bigl[\arctan(x)\bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to+\infty}\bigl(\arctan(t)-\arctan(1)\bigr) =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4},
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, se \displaystyle \int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx
converge, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}f(n)
converge. Como a integral deu \pi/4, conclui-se que a série converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}+1} converge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados