Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos aplicar o teste da integral a uma função f(x) que corresponde ao termo geral da série, verificando positividade, monotonia e avaliando a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}},\quad x\ge1.
  1. f(x)>0 para x>1, pois \ln x>0 e x^{2}>0.
  2. Calculamos a derivada para checar monotonia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\ln x\cdot x^{-2}\Bigr) =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.
Para x>\sqrt{e} temos \ln x>\tfrac12, logo 1-2\ln x<0 e f'(x)<0. Assim, f é decrescente em [\sqrt{e},\infty), o que vale em particular para x\ge2. Com isso, todos os requisitos do teste da integral estão satisfeitos (função positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.
Fazendo integração por partes: seja u=\ln x, dv=x^{-2}dx. Então du=\frac{dx}{x} e v=-\frac1x.
\int\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx =uv-\int v\,du =-\frac{\ln x}{x} +\int\frac{1}{x^{2}}\,dx =-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+C.
Agora avaliamos de 1 até b e fazemos b\to\infty:
\int_{1}^{b}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{\ln x}{x}-\frac1x\Bigr]_{1}^{b} =\Bigl(-\frac{\ln b}{b}-\frac1b\Bigr) -\Bigl(-\frac{\ln1}{1}-\frac11\Bigr).
Como \ln1=0 e \lim_{b\to\infty}\frac{\ln b}{b}=0, \lim_{b\to\infty}\frac1b=0, obtemos
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx =0 -\bigl(0-1\bigr) =1,
ou seja, a integral converge (para 1).

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx<\infty
e f(x)=\tfrac{\ln x}{x^2} satisfaz as condições (positiva, decrescente e contínua para x\ge1), a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}
converge.

Resposta

A série converge.

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