Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{2}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{2}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos aplicar o teste da integral a uma função
que corresponde ao termo geral da série, verificando positividade, monotonia e avaliando a integral imprópria
.
Passo 2
Definimos a função
-
para , pois e . - Calculamos a derivada para checar monotonia:
Para
temos
, logo
e
. Assim,
é decrescente em
, o que vale em particular para
. Com isso, todos os requisitos do teste da integral estão satisfeitos (função positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto).
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Fazendo integração por partes: seja
,
. Então
e
.
Agora avaliamos de 1 até
e fazemos
:
Como
e
,
, obtemos
ou seja, a integral converge (para
).
Passo 4
Pelo teste da integral, como
e
satisfaz as condições (positiva, decrescente e contínua para
), a série
converge.
Resposta
A série converge.