Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste da integral. O conteúdo envolvido é o Teste da Integral para séries de termos positivos, e vamos precisar definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com os termos da série para aplicar o teste.
Passo 2
Observamos que o termo
só faz sentido para
. Logo, consideramos a função
definida para
. Vamos verificar as condições do teste da integral:
-
para todo . -
é contínua em . -
é decrescente para , pois
Passo 3
Aplicamos o teste da integral calculando
Fazemos a substituição
, deonde
, e os limites vão de
até
. Assim,
A integral divergente indica, pelo teste da integral, que a série original também diverge.
Resposta
A série diverge.