Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n^{2}}
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos escolher uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,\infty) tal que f(n)=a_n.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{e^{1/x}}{x^{2}},\quad x\ge1.
Verificamos as hipóteses do teste:
  • f(x)>0 e é contínua em [1,\infty).
  • Para mostrar que é decrescente, calculemos f'(x):
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(e^{1/x}x^{-2}\Bigr) =e^{1/x}\Bigl(-\tfrac{1}{x^2}\Bigr)x^{-2} +e^{1/x}\bigl(-2x^{-3}\bigr) =-e^{1/x}\Bigl(\tfrac{1}{x^4}+\tfrac{2}{x^3}\Bigr) <0.
Portanto, f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Avaliamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição t=\tfrac1x, tem-se dt=-\tfrac1{x^2}dx. Assim,
\int_{1}^{A}\frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx =\int_{t=1}^{t=1/A}e^{t}(-dt) =-\bigl[e^{t}\bigr]_{1}^{1/A} =-\bigl(e^{1/A}-e^{1}\bigr) =e-e^{1/A}.
Levando A\to\infty, obtemos e-e^{0}=e-1<\infty. Logo a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f satisfaz as hipóteses, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n^{2}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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