Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos escolher uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
.
Passo 2
Definimos
Verificamos as hipóteses do teste:
-
e é contínua em . - Para mostrar que é decrescente, calculemos
:
Portanto,
é decrescente em
.
Passo 3
Avaliamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, tem-se
. Assim,
Levando
, obtemos
. Logo a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge e
satisfaz as hipóteses, a série
também converge.
Resposta
A série converge.