Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n+3)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n+3)^2}
usando o teste da integral, que compara a soma \sum f(n) com a integral imprópria \int_1^\infty f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac1{(2x+3)^2},
para x\ge1. Note que f(x)>0 e é contínua em [1,\infty). Para ver que f é decrescente, calculamos
f'(x)=-\frac{4}{(2x+3)^3}<0,
logo f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral
\int_1^\infty\frac{dx}{(2x+3)^2}.
Fazendo a substituição u=2x+3 (então du=2\,dx), obtemos
\int_1^\infty\frac{dx}{(2x+3)^2} =\frac12\int_{5}^{\infty}u^{-2}\,du =\frac12\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{5}^{\infty} =\frac12\Bigl(0-(-\tfrac1{5})\Bigr) =\frac1{10},
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, como \displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx
converge, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também converge.

Resposta

A série converge.

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