Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)};

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}
pelo teste da integral. Para aplicar esse teste, vamos associar à soma uma função contínua, positiva e decrescente em [2,\infty).

Passo 2

Note que o termo para n=1 é indefinido, pois dá divisão por zero. Então reescrevemos a série como \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}.
Definimos a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x-1)}
para x\ge2. Essa função é positiva e, pelo cálculo de sua derivada, decrescente em [2,\infty), satisfazendo as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(x-1)}
Fazendo frações parciais,
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x},
logo
\int_{2}^{N}\frac{dx}{x(x-1)} =\int_{2}^{N}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =\bigl[\ln|x-1|-\ln|x|\bigr]_{2}^{N}.
Isso dá
\ln\!\frac{N-1}{N}-\bigl(\ln1-\ln2\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{N-1}{N}\Bigr)+\ln2.
Quando N\to\infty, \frac{N-1}{N}\to1 e \ln1=0, restando \ln2, que é finito.

Passo 4

Como a integral \displaystyle \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
converge (vale \ln2), o teste da integral garante que a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}
converge também.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados