Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
A porção de
que está à frente de
.
A porção de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede a parametrização da porção dessa superfície que está “à frente de” o plano
Ou seja, precisamos parametrizar a parte da superfície que fica do lado do plano onde
(a interpretação natural de “à frente de
”), isto é, todos os pontos da superfície com
O objetivo final: escrever equações paramétricas
que descrevam exatamente essa porção da superfície.
Passo 2
Entendendo a forma da superfície (um mini-aula rápida e prática).
- A equação
é um paraboloide com vértice em e que “abre” para valores menores de conforme ou aumentam. - Para ver até onde pegamos a superfície ao cortar pelo plano
, igualamos as duas equações:
Isso nos dá a curva de interseção entre o paraboloide e o plano. Vamos calcular essa curva no próximo passo.
Passo 3
Encontrar a região de projeção e o domínio natural para os parâmetros.
- Resolvendo a igualdade do passo anterior:
- Portanto a interseção é um círculo de raio
no plano . - A porção da superfície com
corresponde aos pontos do paraboloide com dentro do disco
Isto sugere usar coordenadas polares (cilíndricas) no plano
como parâmetros: um parâmetro radial para ir do centro ao círculo de raio
e um parâmetro angular para dar a volta.
Passo 4
Escolha de parâmetros e montagem da parametrização (motivo e passo a passo).
- Em coordenadas polares para o par
definimos dois parâmetros tal que
com
e
o ângulo. Esses são parâmetros naturais porque a condição
vira simplesmente
.
- Substituindo em
obtemos
- Portanto a parametrização em termos de
fica
com os parâmetros variando em
- Explicando o que cada parâmetro faz:
controla a distância do eixo (vai do vértice até a interseção com ) e gira em torno do eixo . Essa parametrização cobre toda a porção desejada exatamente uma vez.
Passo 5
Alternativa direta (útil em algumas aplicações).
- Outra parametrização válida, mais “cartesiana”, usa como parâmetros
e :
com o domínio restrito ao disco
- Essa forma é conveniente quando se quer trabalhar diretamente com
e , mas para integrais sobre disco é frequentemente mais prático usar a parametrização em do Passo 4.