Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
A porção de y=4-x^{2}-z^{2} que está à frente de y=-6.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
y = 4 - x^{2} - z^{2}
e pede a parametrização da porção dessa superfície que está “à frente de” o plano
y = -6.
Ou seja, precisamos parametrizar a parte da superfície que fica do lado do plano onde y\ge -6 (a interpretação natural de “à frente de y=-6”), isto é, todos os pontos da superfície com
y \ge -6.
O objetivo final: escrever equações paramétricas (x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)) que descrevam exatamente essa porção da superfície.

Passo 2

Entendendo a forma da superfície (um mini-aula rápida e prática).
  • A equação y=4-x^{2}-z^{2} é um paraboloide com vértice em (0,4,0) e que “abre” para valores menores de y conforme |x| ou |z| aumentam.
  • Para ver até onde pegamos a superfície ao cortar pelo plano y=-6, igualamos as duas equações:
4 - x^{2} - z^{2} = -6.
Isso nos dá a curva de interseção entre o paraboloide e o plano. Vamos calcular essa curva no próximo passo.

Passo 3

Encontrar a região de projeção e o domínio natural para os parâmetros.
  • Resolvendo a igualdade do passo anterior:
4 - x^{2} - z^{2} = -6 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + z^{2} = 10.
  • Portanto a interseção é um círculo de raio \sqrt{10} no plano y=-6.
  • A porção da superfície com y\ge -6 corresponde aos pontos do paraboloide com (x,z) dentro do disco
x^{2}+z^{2} \le 10.
Isto sugere usar coordenadas polares (cilíndricas) no plano (x,z) como parâmetros: um parâmetro radial para ir do centro ao círculo de raio \sqrt{10} e um parâmetro angular para dar a volta.

Passo 4

Escolha de parâmetros e montagem da parametrização (motivo e passo a passo).
  • Em coordenadas polares para o par (x,z) definimos dois parâmetros (r,\theta) tal que
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta o ângulo. Esses são parâmetros naturais porque a condição x^{2}+z^{2}\le 10 vira simplesmente 0\le r\le\sqrt{10}.
  • Substituindo em y=4-x^{2}-z^{2} obtemos
y = 4 - r^{2}.
  • Portanto a parametrização em termos de (r,\theta) fica
x(r,\theta)=r\cos\theta,\qquad y(r,\theta)=4-r^{2},\qquad z(r,\theta)=r\sin\theta,
com os parâmetros variando em
0\le r\le \sqrt{10},\qquad 0\le\theta<2\pi.
  • Explicando o que cada parâmetro faz: r controla a distância do eixo y (vai do vértice até a interseção com y=-6) e \theta gira em torno do eixo y. Essa parametrização cobre toda a porção desejada exatamente uma vez.

Passo 5

Alternativa direta (útil em algumas aplicações).
  • Outra parametrização válida, mais “cartesiana”, usa como parâmetros u=x e v=z:
x(u,v)=u,\qquad y(u,v)=4-u^{2}-v^{2},\qquad z(u,v)=v,
com o domínio restrito ao disco
u^{2}+v^{2}\le 10.
  • Essa forma é conveniente quando se quer trabalhar diretamente com x e z, mas para integrais sobre disco é frequentemente mais prático usar a parametrização em r,\theta do Passo 4.

Resposta

\displaystyle x(r,\theta)=r\cos\theta,\quad y(r,\theta)=4-r^{2},\quad z(r,\theta)=r\sin\theta,\quad 0\le r\le\sqrt{10},\\\ 0\le\theta<2\pi
\displaystyle x(u,v)=u,\quad y(u,v)=4-u^{2}-v^{2},\quad z(u,v)=v,\quad u^{2}+v^{2}\le 10

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