Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
A porção da esfera de raio 6 \operatorname{com} x \geq 0.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, com calma):
  • Dá uma esfera de raio 6. Presume-se esfera centrada na origem, então a equação cartesiana é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=6^{2}=36.
  • Pede uma parametrização (conjunto de equações paramétricas) da porção dessa esfera com a condição x\ge 0.
Em outras palavras: encontrar uma aplicação \mathbf{r}(u,v) que, para cada par de parâmetros (u,v) em um domínio conveniente, produz todos os pontos da esfera de raio 6 cuja coordenada x é não negativa.

Passo 2

Escolha do método (curto e objetivo):
  • Para parametrizar superfícies esféricas, a ferramenta mais direta é usar coordenadas esféricas (ângulos). Elas já enfileiram as coordenadas sobre a esfera de raio fixo de forma simples.
  • Alternativa possível: expressar x como x=\sqrt{36-y^{2}-z^{2}} e usar (y,z) como parâmetros no disco y^{2}+z^{2}\le36. Vou explicar a solução principal com coordenadas esféricas e no final mostro essa alternativa rápida.

Passo 3

Relembrando coordenadas esféricas e por que funcionam aqui (aulas rápidas, bem mastigadas):
  • Nas coordenadas esféricas usualmente usamos dois ângulos:
    • \theta: ângulo no plano xy medido a partir do eixo x (azimute).
    • \varphi: ângulo entre o raio que liga a origem ao ponto e o eixo z (colatitude, também chamado de polar).
  • Para uma esfera de raio R fixa, a parametrização padrão é
x = R\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = R\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = R\cos\varphi.
  • Aqui R=6. Explicando cada termo:
    • \sin\varphi é a projeção do vetor posição no plano xy (comprimento radial no plano xy).
    • \cos\theta e \sin\theta dividem essa projeção entre as direções x e y.
    • \cos\varphi dá a componente ao longo de z.
  • Essas fórmulas garantem automaticamente que x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} (pode-se verificar substituindo e usando \sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi=1).

Passo 4

Impondo a condição x\ge 0 na parametrização esférica (passo crucial, com explicação geométrica):
  • Com x = 6\sin\varphi\cos\theta temos \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi] (essa é a faixa natural para \varphi que cobre a esfera toda).
  • Então o sinal de x depende do sinal de \cos\theta.
  • Queremos \cos\theta\ge 0, isto é \theta deve estar no intervalo onde o cosseno é não negativo. Uma escolha simples e padrão é
-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}.
  • Essa escolha cobre todos os azimutes cujo cosseno é não negativo; géometricamente corresponde a todas as direções no semiplano cujo eixo x aponta para x\ge0. (Poder-se-ia também usar \theta\in[3\pi/2,5\pi/2] ou outra faixa de comprimento \pi, mas usar [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] é o mais direto.)
Para \varphi mantemos a faixa completa que percorre de polo a polo:
0\le \varphi\le \pi.
Incluir as extremidades permite pontos com x=0 (quando \cos\theta=0 ou \sin\varphi=0).

Passo 5

Escrevendo a parametrização final (mostro também como verificar rapidamente):
  • A parametrização (vetorial) fica
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\big(6\sin\varphi\cos\theta,\;6\sin\varphi\sin\theta,\;6\cos\varphi\big).
  • Domínio dos parâmetros escolhido:
-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \varphi\le \pi.
  • Verificação rápida: pegar \theta=0,\varphi=\tfrac{\pi}{2} \mathbf{r}=(6,0,0) (ponto com x=6\ge0); pegar \theta=\tfrac{\pi}{2},\varphi=\tfrac{\pi}{2} \mathbf{r}=(0,6,0) (ficamos em x=0, também permitido). Substituindo na equação da esfera confirma x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.

Passo 6

Alternativa (útil na prova se preferir usar coordenadas cartesianas/cilíndricas):
  • Use (u,v) como parâmetros representando y e z. Então
y=u,\quad z=v,\quad x=+\sqrt{36-u^{2}-v^{2}},
com domínio do par (u,v) dado pelo disco
u^{2}+v^{2}\le 36.
  • Essa alternativa produz diretamente a metade da esfera com x\ge0 (escolhe-se o sinal positivo da raiz). É prática quando a prova pede integrar sobre a superfície e prefere parametrização por uma projeção no plano yz.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\big(6\sin\varphi\cos\theta,\;6\sin\varphi\sin\theta,\;6\cos\varphi\big)
-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \varphi\le \pi

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