Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
A porção da esfera de raio
.
A porção da esfera de raio
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, com calma):
- Dá uma esfera de raio
. Presume-se esfera centrada na origem, então a equação cartesiana é - Pede uma parametrização (conjunto de equações paramétricas) da porção dessa esfera com a condição
.
Em outras palavras: encontrar uma aplicação
que, para cada par de parâmetros
em um domínio conveniente, produz todos os pontos da esfera de raio
cuja coordenada
é não negativa.
Passo 2
Escolha do método (curto e objetivo):
- Para parametrizar superfícies esféricas, a ferramenta mais direta é usar coordenadas esféricas (ângulos). Elas já enfileiram as coordenadas sobre a esfera de raio fixo de forma simples.
- Alternativa possível: expressar
como e usar como parâmetros no disco . Vou explicar a solução principal com coordenadas esféricas e no final mostro essa alternativa rápida.
Passo 3
Relembrando coordenadas esféricas e por que funcionam aqui (aulas rápidas, bem mastigadas):
- Nas coordenadas esféricas usualmente usamos dois ângulos:
-
: ângulo no plano medido a partir do eixo (azimute). -
: ângulo entre o raio que liga a origem ao ponto e o eixo (colatitude, também chamado de polar).
-
- Para uma esfera de raio
fixa, a parametrização padrão é
- Aqui
. Explicando cada termo: -
é a projeção do vetor posição no plano (comprimento radial no plano ). -
e dividem essa projeção entre as direções e . -
dá a componente ao longo de .
-
- Essas fórmulas garantem automaticamente que
(pode-se verificar substituindo e usando ).
Passo 4
Impondo a condição
na parametrização esférica (passo crucial, com explicação geométrica):
- Com
temos para (essa é a faixa natural para que cobre a esfera toda). - Então o sinal de
depende do sinal de . - Queremos
, isto é deve estar no intervalo onde o cosseno é não negativo. Uma escolha simples e padrão é
- Essa escolha cobre todos os azimutes cujo cosseno é não negativo; géometricamente corresponde a todas as direções no semiplano cujo eixo
aponta para . (Poder-se-ia também usar ou outra faixa de comprimento , mas usar é o mais direto.)
Para
mantemos a faixa completa que percorre de polo a polo:
Incluir as extremidades permite pontos com
(quando
ou
).
Passo 5
Escrevendo a parametrização final (mostro também como verificar rapidamente):
- A parametrização (vetorial) fica
- Domínio dos parâmetros escolhido:
- Verificação rápida: pegar
dá (ponto com ); pegar dá (ficamos em , também permitido). Substituindo na equação da esfera confirma .
Passo 6
Alternativa (útil na prova se preferir usar coordenadas cartesianas/cilíndricas):
- Use
como parâmetros representando e . Então
com domínio do par
dado pelo disco
- Essa alternativa produz diretamente a metade da esfera com
(escolhe-se o sinal positivo da raiz). É prática quando a prova pede integrar sobre a superfície e prefere parametrização por uma projeção no plano .