Questão 2. Determine a solução geral da equação diferencial utilizando o método da se-
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
Informações explícitas do enunciado:
- A equação relaciona
com uma fração cujo numerador é . - O denominador é
. - O objetivo é encontrar a família de soluções
que satisfaz essa relação (solução geral).
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar/ fatorar numerador e denominador — isto muitas vezes revela estrutura que permite separar variáveis. Vamos fatorar cada um:
Numerador:
Denominador:
Portanto a equação pode ser reescrita como
Passo 3
Escolha do método: ao ver a forma
percebemos que o lado direito é produto de uma função de
e uma função de
separadas (fração que se fatorou em partes dependentes apenas de
e apenas de
). Isso sugere que a equação é separável, ou seja, podemos rearranjar para colocar termos em
junto com
e termos em
junto com
. Outros métodos (como tentar tratar como linear em
ou usar substituição homogênea) não são tão naturais aqui porque a fatoração já dá separação direta.
Passo 4
Separando as variáveis: a partir de
multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter
Agora os termos em
estão no lado esquerdo e os termos em
no direito — prontos para integrar.
Passo 5
Preparar as integrais: é mais fácil integrar se decompor cada razão em uma soma de termos simples. Fazer a decomposição algébrica:
Para
:
Para
:
Assim as integrais ficam simples somas de integrais elementares.
Passo 6
Integrar ambos os lados. Começamos com a igualdade do passo anterior:
Integrando:
Calcule as integrais termo a termo:
-
-
(usar substituição dá ). -
-
(substituição análoga).
Portanto a integral dá a relação
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Interpretando o resultado e soluções singulares:
- A equação integrada acima é uma forma implícita da solução geral. Não é fácil (nem necessário) isolar
explicitamente em termos de usando funções elementares; a forma implícita é aceitável como solução geral. - Verificar soluções constantes especiais: se
então o numerador original é zero para todo , o que dá , portanto é uma solução constante (exceto no ponto onde a equação original fica indeterminada). Note que a equação original tem problemas quando , isto é, em ou a expressão do lado direito é indefinida; essas linhas verticais/horizontais não fazem parte da solução regular da equação diferenciável e aparecem como pontos onde a equação dada não está definida. - A família dada implicitamente por
descreve todas as soluções regulares (exceto a solução constante , que está incluída se for obtida como limite para certo apropriado).
Passo 8
Resumo final: a solução geral da equação, em forma implícita, é
com
constante real, e há a solução singular constante
(válida onde a equação original está definida).