Questão 2. Determine a solução geral da equação diferencial utilizando o método da se-
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y-x-2}{x y-3 y+x-3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y-x-2}{x y-3 y+x-3}.
Informações explícitas do enunciado:
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com uma fração cujo numerador é x y+2 y-x-2.
  • O denominador é x y-3 y+x-3.
  • O objetivo é encontrar a família de soluções y(x) que satisfaz essa relação (solução geral).

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar/ fatorar numerador e denominador — isto muitas vezes revela estrutura que permite separar variáveis. Vamos fatorar cada um:
Numerador:
x y+2 y-x-2 = y(x+2)-(x+2)=(x+2)(y-1).
Denominador:
x y-3 y+x-3 = y(x-3)+(x-3)=(x-3)(y+1).
Portanto a equação pode ser reescrita como
\frac{d y}{d x}=\frac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)}.

Passo 3

Escolha do método: ao ver a forma \dfrac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)} percebemos que o lado direito é produto de uma função de x e uma função de y separadas (fração que se fatorou em partes dependentes apenas de x e apenas de y). Isso sugere que a equação é separável, ou seja, podemos rearranjar para colocar termos em y junto com dy e termos em x junto com dx. Outros métodos (como tentar tratar como linear em y ou usar substituição homogênea) não são tão naturais aqui porque a fatoração já dá separação direta.

Passo 4

Separando as variáveis: a partir de
\frac{d y}{d x}=\frac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)}
multiplicamos ambos os lados por \dfrac{y+1}{y-1} e por dx para obter
\frac{y+1}{y-1}\,dy=\frac{x+2}{x-3}\,dx.
Agora os termos em y estão no lado esquerdo e os termos em x no direito — prontos para integrar.

Passo 5

Preparar as integrais: é mais fácil integrar se decompor cada razão em uma soma de termos simples. Fazer a decomposição algébrica:
Para y:
\frac{y+1}{y-1}=\frac{(y-1)+2}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}.
Para x:
\frac{x+2}{x-3}=\frac{(x-3)+5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}.
Assim as integrais ficam simples somas de integrais elementares.

Passo 6

Integrar ambos os lados. Começamos com a igualdade do passo anterior:
\left(1+\frac{2}{y-1}\right)dy=\left(1+\frac{5}{x-3}\right)dx.
Integrando:
\int\left(1+\frac{2}{y-1}\right)dy=\int\left(1+\frac{5}{x-3}\right)dx.
Calcule as integrais termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dy = y.
  • \displaystyle \int \frac{2}{y-1}\,dy = 2\int \frac{1}{y-1}\,dy = 2\ln|y-1| (usar substituição u=y-1 \int 1/u\,du=\ln|u|).
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int \frac{5}{x-3}\,dx = 5\int \frac{1}{x-3}\,dx = 5\ln|x-3| (substituição v=x-3 análoga).
Portanto a integral dá a relação
y+2\ln|y-1|=x+5\ln|x-3|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Interpretando o resultado e soluções singulares:
  • A equação integrada acima é uma forma implícita da solução geral. Não é fácil (nem necessário) isolar y explicitamente em termos de x usando funções elementares; a forma implícita é aceitável como solução geral.
  • Verificar soluções constantes especiais: se y\equiv 1 então o numerador original (x+2)(y-1) é zero para todo x, o que dá \dfrac{dy}{dx}=0, portanto y=1 é uma solução constante (exceto no ponto onde a equação original fica indeterminada). Note que a equação original tem problemas quando (x-3)(y+1)=0, isto é, em x=3 ou y=-1 a expressão do lado direito é indefinida; essas linhas verticais/horizontais não fazem parte da solução regular da equação diferenciável e aparecem como pontos onde a equação dada não está definida.
  • A família dada implicitamente por y+2\ln|y-1|=x+5\ln|x-3|+C descreve todas as soluções regulares (exceto a solução constante y=1, que está incluída se for obtida como limite para certo C apropriado).

Passo 8

Resumo final: a solução geral da equação, em forma implícita, é
y+2\ln|y-1|=x+5\ln|x-3|+C,
com C constante real, e há a solução singular constante y=1 (válida onde a equação original está definida).

Resposta

y+2\ln|y-1|=x+5\ln|x-3|+C
y=1

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