Determine a integral de cada função abaixo
\int \csc x \cot x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
  • Pede-se a integral indefinida da função \csc x \cot x, ou seja calcular \displaystyle \int \csc x \cot x\,dx.\n
  • Informação importante: a variável de integração é x e o resultado deve conter a constante de integração C.\n
    (Resumo: encontrar uma primitiva de \csc x \cot x.)

Passo 2

Observação útil (identidade e derivação): vamos lembrar as definições trigonométricas básicas que aparecem aqui:
\csc x=\frac{1}{\sin x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Também é bom conhecer a derivada de \csc x. Escrevendo \csc x=(\sin x)^{-1} e aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big)=\frac{d}{dx}\big((\sin x)^{-1}\big)= -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Usando as definições acima, isso pode ser reescrito como
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big)=-\csc x\cot x.
Explicando devagar: a derivada de (\sin x)^{-1} é -1\cdot(\sin x)^{-2} vezes a derivada de \sin x, que é \cos x. O resultado iguala -\csc x\cot x.

Passo 3

Usando a observação do passo anterior: como \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\big)=-\csc x\cot x, temos que \csc x\cot x é (menos) a derivada de \csc x. Portanto uma primitiva de \csc x\cot x é -\csc x, isto é, integrando ambos os lados:
\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C.
Aqui usei o fato fundamental de que integração é a operação inversa da diferenciação: se F'(x)=f(x) então \int f(x)\,dx=F(x)+C.

Passo 4

Mostro uma alternativa por substituição (para você ver outra forma prática que aparece em provas): comece reescrevendo o integrando usando as definições:
\csc x\cot x=\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Agora faça a substituição \,u=\sin x. Então \,du=\cos x\,dx. Substituindo na integral:
\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx=\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du.
Aplicando a regra do poder para integrais ( \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1), com n=-2:
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C.
Voltando para x usando u=\sin x:
-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{\sin x}+C=-\csc x + C,
o mesmo resultado obtido antes. Esta via mostra explicitamente a escolha de u para que du apareça.

Passo 5

Conclusão prática para a prova: você pode tanto reconhecer diretamente que a derivada de \csc x é -\csc x\cot x quanto fazer a substituição \,u=\sin x e integrar uma potência. Em ambos os casos a primitiva é -\csc x + C. Vai dar tudo certo — continue praticando que você pega o jeito rápido!

Resposta

-\csc x + C

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