Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
- Pede-se a integral indefinida da função
, ou seja calcular .\n - Informação importante: a variável de integração é
e o resultado deve conter a constante de integração .\n
(Resumo: encontrar uma primitiva de.)
Passo 2
Observação útil (identidade e derivação): vamos lembrar as definições trigonométricas básicas que aparecem aqui:
Também é bom conhecer a derivada de
. Escrevendo
e aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
Usando as definições acima, isso pode ser reescrito como
Explicando devagar: a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. O resultado iguala
.
Passo 3
Usando a observação do passo anterior: como
, temos que
é (menos) a derivada de
. Portanto uma primitiva de
é
, isto é, integrando ambos os lados:
Aqui usei o fato fundamental de que integração é a operação inversa da diferenciação: se
então
.
Passo 4
Mostro uma alternativa por substituição (para você ver outra forma prática que aparece em provas): comece reescrevendo o integrando usando as definições:
Agora faça a substituição
. Então
. Substituindo na integral:
Aplicando a regra do poder para integrais (
para
), com
:
Voltando para
usando
:
o mesmo resultado obtido antes. Esta via mostra explicitamente a escolha de
para que
apareça.
Passo 5
Conclusão prática para a prova: você pode tanto reconhecer diretamente que a derivada de
é
quanto fazer a substituição
e integrar uma potência. Em ambos os casos a primitiva é
. Vai dar tudo certo — continue praticando que você pega o jeito rápido!