e C a curva formada pelo arco de circunferencia. Usando a definição da integral de linha, calcule:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e diz que
é “a curva formada pelo arco de circunferência”. O pedido é calcular
Informações relevantes dadas:
- O campo é
. - A integração é ao longo de uma curva
que é um arco de circunferência.
Informações ausentes e necessárias para um valor numérico único:
- centro da circunferência (por exemplo
ou ); - raio
da circunferência; - quais são os pontos inicial e final do arco (ou equivalentemente os ângulos
e ); - orientação do arco (sentido positivo se o parâmetro aumenta, ou o contrário).
Sem esses dados não há como dar um único valor numérico. Abaixo eu mostro passo a passo como resolver o problema quando a circunferência for a mais comum (centro na origem) e dou a fórmula geral que você poderá usar no exame se souber os parâmetros do arco.
Passo 2
Definição e estratégia (aula rápida): para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
usa-se uma parametrização
,
, tal que
. A definição é
Aqui:
-
dá as coordenadas de cada ponto do arco quando varia de a . -
é a velocidade (vetor tangente). -
é o campo avaliado no ponto .
No exame, primeiro passo sempre: achar uma boa parametrização do arco; segundo passo: calcular; terceiro passo: integrar com respeito a .
Passo 3
Parametrização do arco de circunferência centrada na origem (caso padrão): se a circunferência tem centro em
e raio
, um arco pode ser parametrizado por
onde
e
são os ângulos que delimitam o arco. A orientação positiva corresponde a
aumentando de
para
.
Passo 4
Substituir o campo e calcular
. Para
e
acima:
A derivada da parametrização é
O produto escalar que vamos integrar é
Passo 5
Simplificar o integrando passo a passo:
Agora integramos de
até
:
Passo 6
Resolver a integral por substituições simples (aquelas que o professor adora ver):
- Para
, use . Assim - Para
, use . Assim
Somando os dois resultados (lembrando do sinal menos),
Passo 7
Substituir no resultado com o fator
e avaliar entre os limites
e
:
Isto é uma fórmula geral válida quando a circunferência tem centro na origem, raio
e o arco corresponde ao intervalo de ângulos
. Observações rápidas e úteis:
- Se
(circunferência unidade) a expressão simplifica removendo o fator . - Se
e (volta completa), a expressão dá zero, como verifica-se porque tem mesma avaliação em e . - Se a circunferência tiver centro
diferente da origem, parametrizar por e repetir o procedimento; o integrando ficará mais longo mas é exatamente o mesmo método.
Resposta
Não é possível determinar um único valor numérico sem especificar centro, raio, limites angulares e orientação do arco.
Se a circunferência tiver centro na origem, raio e o arco corresponder a
com
, então
Se a circunferência tiver centro na origem, raio