\vec{F}=(x^{2}, y^{2}) e C a curva formada pelo arco de circunferencia. Usando a definição da integral de linha, calcule:
\int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}=(x^{2},y^{2}) e diz que C é “a curva formada pelo arco de circunferência”. O pedido é calcular
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes dadas:
  • O campo é \vec{F}(x,y)=(x^{2},y^{2}).
  • A integração é ao longo de uma curva C que é um arco de circunferência.
Informações ausentes e necessárias para um valor numérico único:
  • centro da circunferência (por exemplo (0,0) ou (h,k));
  • raio R da circunferência;
  • quais são os pontos inicial e final do arco (ou equivalentemente os ângulos \alpha e \beta);
  • orientação do arco (sentido positivo se o parâmetro aumenta, ou o contrário).
Sem esses dados não há como dar um único valor numérico. Abaixo eu mostro passo a passo como resolver o problema quando a circunferência for a mais comum (centro na origem) e dou a fórmula geral que você poderá usar no exame se souber os parâmetros do arco.

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida): para calcular a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva C usa-se uma parametrização \vec{r}(t), t\in[a,b], tal que \vec{r}([a,b])=C. A definição é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t) dá as coordenadas (x(t),y(t)) de cada ponto do arco quando t varia de a a b.
  • \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é a velocidade (vetor tangente).
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado no ponto (x(t),y(t)).
    No exame, primeiro passo sempre: achar uma boa parametrização do arco; segundo passo: calcular \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t); terceiro passo: integrar com respeito a t.

Passo 3

Parametrização do arco de circunferência centrada na origem (caso padrão): se a circunferência tem centro em (0,0) e raio R>0, um arco pode ser parametrizado por
\vec{r}(t)=\bigl(R\cos t,\;R\sin t\bigr),\qquad t\in[\alpha,\beta],
onde \alpha e \beta são os ângulos que delimitam o arco. A orientação positiva corresponde a t aumentando de \alpha para \beta.

Passo 4

Substituir o campo e calcular \vec{r}\,'(t). Para \vec{F}(x,y)=(x^{2},y^{2}) e \vec{r}(t) acima:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl((R\cos t)^{2},\;(R\sin t)^{2}\bigr)=\bigl(R^{2}\cos^{2}t,\;R^{2}\sin^{2}t\bigr).
A derivada da parametrização é
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-R\sin t,\;R\cos t\bigr).
O produto escalar que vamos integrar é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =R^{2}\cos^{2}t\cdot(-R\sin t)+R^{2}\sin^{2}t\cdot(R\cos t).

Passo 5

Simplificar o integrando passo a passo:
\begin{aligned} \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) &= -R^{3}\cos^{2}t\sin t + R^{3}\sin^{2}t\cos t\\[4pt] &= R^{3}\bigl(\cos t\sin^{2}t - \cos^{2}t\sin t\bigr)\\[4pt] &= R^{3}\bigl(\cos t\sin^{2}t\bigr) - R^{3}\bigl(\cos^{2}t\sin t\bigr). \end{aligned}
Agora integramos de t=\alpha até t=\beta:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = R^{3}\int_{\alpha}^{\beta}\bigl(\cos t\sin^{2}t - \cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt.]

Passo 6

Resolver a integral por substituições simples (aquelas que o professor adora ver):
  • Para \int\cos t\sin^{2}t\,dt, use u=\sin t\Rightarrow du=\cos t\,dt. Assim \int\cos t\sin^{2}t\,dt=\int u^{2}\,du=\dfrac{u^{3}}{3}=\dfrac{\sin^{3}t}{3}.
  • Para \int\cos^{2}t\sin t\,dt, use v=\cos t\Rightarrow dv=-\sin t\,dt. Assim \int\cos^{2}t\sin t\,dt=-\int v^{2}\,dv=-\dfrac{v^{3}}{3}=-\dfrac{\cos^{3}t}{3}.
Somando os dois resultados (lembrando do sinal menos),
\int\bigl(\cos t\sin^{2}t - \cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt =\frac{\sin^{3}t}{3}+\frac{\cos^{3}t}{3}=\frac{\sin^{3}t+\cos^{3}t}{3}+C.

Passo 7

Substituir no resultado com o fator R^{3} e avaliar entre os limites \alpha e \beta:
\boxed{\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\frac{R^{3}}{3}\Bigl[\sin^{3}t+\cos^{3}t\Bigr]_{t=\alpha}^{t=\beta} =\frac{R^{3}}{3}\bigl(\sin^{3}\beta+\cos^{3}\beta-\sin^{3}\alpha-\cos^{3}\alpha\bigr).}
Isto é uma fórmula geral válida quando a circunferência tem centro na origem, raio R e o arco corresponde ao intervalo de ângulos [\alpha,\beta]. Observações rápidas e úteis:
  • Se R=1 (circunferência unidade) a expressão simplifica removendo o fator R^{3}.
  • Se \alpha=0 e \beta=2\pi (volta completa), a expressão dá zero, como verifica-se porque \sin^{3}t+\cos^{3}t tem mesma avaliação em 0 e 2\pi.
  • Se a circunferência tiver centro (h,k) diferente da origem, parametrizar por \vec{r}(t)=(h+R\cos t,\;k+R\sin t) e repetir o procedimento; o integrando ficará mais longo mas é exatamente o mesmo método.

Resposta

Não é possível determinar um único valor numérico sem especificar centro, raio, limites angulares e orientação do arco.
Se a circunferência tiver centro na origem, raio R e o arco corresponder a t\in[\alpha,\beta] com \vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t), então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{R^{3}}{3}\bigl(\sin^{3}\beta+\cos^{3}\beta-\sin^{3}\alpha-\cos^{3}\alpha\bigr).

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