Questão (1(2,0)). Determine a solução, em \mathbb{R} :
\frac{2 x^{2}-5 x}{x-x^{3}}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em \mathbb{R} da equação
\frac{2x^{2} - 5x}{x - x^{3}} = 0.
Isso é uma equação racional. O ponto-chave é lembrar que
uma fração \tfrac{N(x)}{D(x)} é zero se, e somente se, N(x)=0 e D(x)\neq0.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador 2x^{2}-5x.
2x^{2}-5x = x\,(2x-5).
As raízes potencias do numerador são as soluções de
x=0 \quad\text{ou}\quad 2x-5=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{5}{2}.

Passo 3

Agora determinamos onde o denominador x - x^{3} é zero, pois esses valores não podem pertencer à solução.
x - x^{3} = x\,(1 - x^{2}) = x\,(1 - x)\,(1 + x).
Portanto x - x^{3}=0 se, e somente se, x=0, x=1 ou x=-1. Esses três valores estão fora do domínio da equação.

Passo 4

Para a fração ser zero, x deve anular o numerador e, ao mesmo tempo, não anular o denominador.
Das raízes do numerador \{0,\tfrac{5}{2}\}, excluímos 0 porque também zera o denominador. Assim permanece
x = \frac{5}{2},
que não anula x - x^{3}.

Resposta

\left\{\frac{5}{2}\right\}.

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