Questão 3. Determine o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 metros e altura 5 metros cheio de água admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,1 metro, com uma velocidade
, sendo
a altura da água no tanque e
a aceleração gravitacional.
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, admitindo que a água escoa por um orifício de raio 0,1 m na base com velocidade dada por
, onde
é a altura da água e
m/
. Para resolver, vamos usar a lei de Torricelli e montar uma equação diferencial relacionando a variação da altura
ao fluxo de saída.
Passo 2
Primeiro, calculamos as áreas do tanque e do orifício:
O volume de água no tanque é
. A vazão (volume por tempo) de saída é
Como o volume diminui, temos
Cancelando
e isolando
,
Passo 3
Agora separamos variáveis para integrar de
até
:
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo
No direito
Então fica
Passo 4
Como
, obtemos
logo
Resposta
O tanque esvazia-se em aproximadamente
,
(cerca de 6 min 40 s).