Questão 3. Determine o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 metros e altura 5 metros cheio de água admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,1 metro, com uma velocidade v-\sqrt{2 g h} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sendo h a altura da água no tanque e g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} a aceleração gravitacional.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, admitindo que a água escoa por um orifício de raio 0,1 m na base com velocidade dada por \sqrt{2gh}, onde h é a altura da água e g=10 m/ s^{2}. Para resolver, vamos usar a lei de Torricelli e montar uma equação diferencial relacionando a variação da altura h(t) ao fluxo de saída.

Passo 2

Primeiro, calculamos as áreas do tanque e do orifício:
A_{\text{tanque}} = \pi\,(2)^2 = 4\pi,
A_{\text{orifício}} = \pi\,(0,1)^2 = 0,01\pi.í
O volume de água no tanque é V = A_{\text{tanque}}\;h = 4\pi\,h. A vazão (volume por tempo) de saída é
Q = A_{\text{orifício}}\;v = 0,01\pi\;\sqrt{2gh} = 0,01\pi\,\sqrt{20\,h}.í
Como o volume diminui, temos
\frac{dV}{dt} = -\,Q \quad\Longrightarrow\quad 4\pi\,\frac{dh}{dt} = -\,0,01\pi\,\sqrt{20\,h}.
Cancelando \pi e isolando \frac{dh}{dt},
\frac{dh}{dt} = -\,\frac{0,01}{4}\,\sqrt{20\,h} = -\,0,0025\,\sqrt{20\,h}.

Passo 3

Agora separamos variáveis para integrar de h(0)=5 até h(T)=0:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\,0,0025\,\sqrt{20}\;dt.
Integramos ambos os lados:
\int_{5}^{0} h^{-1/2}\,dh = -\,0,0025\,\sqrt{20}\,\int_{0}^{T} dt.
No lado esquerdo
\int_{5}^{0} h^{-1/2}\,dh = \bigl[2\,\sqrt{h}\bigr]_{5}^{0} = 0 - 2\sqrt{5} = -\,2\sqrt{5}.
No direito
-\,0,0025\,\sqrt{20}\,\int_{0}^{T} dt = -\,0,0025\,\sqrt{20}\;T.
Então fica
-\,2\sqrt{5} = -\,0,0025\,\sqrt{20}\;T \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{5} = 0,0025\sqrt{20}\;T.

Passo 4

Como \sqrt{20}=2\sqrt{5}, obtemos
0,0025\,\sqrt{20} = 0,0025\,(2\sqrt{5}) = 0,005\sqrt{5},
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T = \frac{2\sqrt{5}}{0,005\sqrt{5}} = \frac{2}{0,005} = 400.

Resposta

O tanque esvazia-se em aproximadamente 400, \text{s} (cerca de 6 min 40 s).

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