Questão 3: Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que o núcleo de T seja [(1,2,0)] e \mathrm{T}(1,0,0)=(1,2), \mathrm{T}(1,1,1)=(0,1)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
cujo núcleo seja \mathrm{Ker}\,T = \mathrm{span}\{(1,2,0)\} e que satisfaça
T(1,0,0) = (1,2), \quad T(1,1,1) = (0,1).
Para construir T, vamos escrever sua matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3} cujas colunas são
A = \bigl[c_1\;\;c_2\;\;c_3\bigr],
onde c_j = T(e_j).

Passo 2

A condição \mathrm{Ker}\,T = \mathrm{span}\{(1,2,0)\} implica
A\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} = c_1 + 2\,c_2 = 0.
Logo
c_1 = -2\,c_2.

Passo 3

Pelo enunciado,
T(1,0,0) = c_1 = (1,2).
Assim
c_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}, \qquad c_2 = -\tfrac12\,c_1 = \begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Também sabemos
T(1,1,1) = c_1 + c_2 + c_3 = (0,1).
Subtraindo c_1 e c_2 obtemos
c_3 = (0,1) - c_1 - c_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Assim a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix},
e portanto, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - \tfrac12 y - \tfrac12 z\\\\ 2x - y \end{pmatrix}.

Resposta

A transformação linear é
\boxed{T(x,y,z)=\bigl(x - \tfrac12 y - \tfrac12 z,\;2x - y\bigr).}

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