Questão 3: Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que o núcleo de T seja [(1,2,0)] e \mathrm{T}(1,0,0)=(1,2), \mathrm{T}(1,1,1)=(0,1)
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
cujo núcleo seja \mathrm{Ker}\,T = \mathrm{span}\{(1,2,0)\} e que satisfaça
T(1,0,0) = (1,2), \quad T(1,1,1) = (0,1).
Para construir T, vamos escrever sua matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3} cujas colunas são
A = \bigl[c_1\;\;c_2\;\;c_3\bigr],
onde c_j = T(e_j).
Passo 2
A condição \mathrm{Ker}\,T = \mathrm{span}\{(1,2,0)\} implica